kaoyan3basic 高等数学 第129题
📝 题目
### 第129题 $\displaystyle 129 f(x)=\frac{\sin \pi x}{x-1} \mathrm{e}^{\frac{1}{(x-1)^{3}}}$ ，则当 $x \rightarrow 1$ 时有 （A） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=-\pi$ ． （B） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=0$ ． （C） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)=\infty$ ． （D） $\lim _{x \rightarrow 1} f(x)$ 不存在，且 $\lim _{x \rightarrow 1} f(x) \neq \infty$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$\displaystyle \frac{\sin\pi x}{x-1} = -\frac{\sin\pi(x-1)}{x-1} \to -\pi$（当$x\to1$）。 步骤2：$\displaystyle e^{\frac{1}{(x-1)^3}}$，当$x\to1^+$时，$\displaystyle \frac{1}{(x-1)^3}\to+\infty$，指数趋于$+\infty$；当$x\to1^-$时，$\displaystyle \frac{1}{(x-1)^3}\to-\infty$，指数趋于$0$。 步骤3：左右极限不相等且不为无穷大，故极限不存在且不为无穷。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简第一个因子
将分子中的 sin(πx) 转化为 sin(π(x-1))，利用诱导公式 sin(πx) = -sin(π(x-1))，则 f(x) = -[sin(π(x-1))/(x-1)] * e^{1/(x-1)^3}。当 x→1 时，sin(π(x-1))/(x-1) → π，因此第一个因子趋于 -π。
公式：sin(πx) = -sin(π(x-1))，lim_{t→0} sin(t)/t = 1
提示：注意符号变化，sin(πx) 在 x=1 处为 0，但导数不为 0。
步骤 2/3
目标：分析指数部分的极限
考虑 e^{1/(x-1)^3}。当 x→1⁺ 时，x-1→0⁺，则 (x-1)^3→0⁺，1/(x-1)^3→+∞，所以 e^{1/(x-1)^3}→+∞。当 x→1⁻ 时，x-1→0⁻，则 (x-1)^3→0⁻，1/(x-1)^3→-∞，所以 e^{1/(x-1)^3}→0。
公式：lim_{t→+∞} e^t = +∞，lim_{t→-∞} e^t = 0
提示：注意左右趋近时 (x-1)^3 的符号不同。
步骤 3/3
目标：综合左右极限
左极限：x→1⁻ 时，第一个因子趋于 -π，第二个因子趋于 0，乘积趋于 0。右极限：x→1⁺ 时，第一个因子趋于 -π，第二个因子趋于 +∞，乘积趋于 -∞。左右极限不相等，且右极限为无穷大，但左极限为有限数，因此极限不存在且不为无穷大（因为无穷大要求左右极限均为无穷大）。
提示：极限不存在包括无穷大和振荡等情况，此处左右极限不相等且一个为无穷，另一个为有限，故不属于无穷大极限。
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