kaoyan3basic 高等数学 第130题
📝 题目
### 第130题 $\displaystyle 130 I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos \left(x \mathrm{e}^{x}\right)-\mathrm{e}^{-\frac{x^{2}}{2} \mathrm{e}^{2 x}}}{x^{4}}=$ （A） 0 ． （B）$\displaystyle -\frac{1}{6}$ ． （C）$\displaystyle -\frac{1}{8}$ ． （D）$\displaystyle -\frac{1}{12}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：令$u=xe^x$，则$\displaystyle \cos(xe^x) = 1 - \frac{(xe^x)^2}{2} + \frac{(xe^x)^4}{24} + O(x^6)$。 步骤2：$\displaystyle e^{-\frac{x^2}{2}e^{2x}} = 1 - \frac{x^2e^{2x}}{2} + \frac{x^4e^{4x}}{8} + O(x^6)$。 步骤3：展开$\displaystyle e^x=1+x+\frac{x^2}{2}+O(x^3)$，代入计算得分子$\displaystyle =-\frac{1}{12}x^4+O(x^5)$，除以$x^4$得$\displaystyle -\frac{1}{12}$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将分子中的两项分别展开为泰勒级数
令 u = x e^x，则 cos(x e^x) = 1 - (x e^x)^2/2 + (x e^x)^4/24 + O(x^6)；e^{-x^2 e^{2x}/2} = 1 - x^2 e^{2x}/2 + x^4 e^{4x}/8 + O(x^6)。
公式：cos(u) = 1 - u^2/2 + u^4/24 + O(u^6)；e^v = 1 + v + v^2/2 + O(v^3)
提示：注意展开到足够高阶，x^4项是需要的。
步骤 2/4
目标：展开 e^x 和 e^{2x} 为幂级数
e^x = 1 + x + x^2/2 + x^3/6 + O(x^4)；e^{2x} = 1 + 2x + 2x^2 + 4x^3/3 + O(x^4)。
公式：e^x = ∑_{n=0}^∞ x^n/n!
提示：保留到 x^3 项即可，因为后面会乘以 x^2 或 x^4。
步骤 3/4
目标：代入并计算分子中 x^4 项的系数
计算 (x e^x)^2 = x^2 (1 + x + x^2/2 + ...)^2 = x^2 (1 + 2x + 2x^2 + ...)； (x e^x)^4 = x^4 (1 + 4x + ...)； x^2 e^{2x} = x^2 (1 + 2x + 2x^2 + ...)； x^4 e^{4x} = x^4 (1 + 4x + ...)。代入分子表达式，合并 x^4 项：cos 部分贡献 -1/2 * (2x^4) + 1/24 * x^4 = -x^4 + x^4/24 = -23x^4/24；指数部分贡献 -1/2 * (2x^4) + 1/8 * x^4 = -x^4 + x^4/8 = -7x^4/8。分子 = (-23/24 + 7/8)x^4 + O(x^5) = (-23/24 + 21/24)x^4 = -2/24 x^4 = -x^4/12 + O(x^5)。
公式：泰勒展开的加减运算
提示：注意符号，cos 项和指数项相减。
步骤 4/4
目标：求极限
原极限 = lim_{x→0} (-x^4/12 + O(x^5)) / x^4 = -1/12。
公式：lim_{x→0} O(x^5)/x^4 = 0
提示：高阶无穷小除以 x^4 趋于0。
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