kaoyan3basic 高等数学 第131题
📝 题目
### 第131题 131 若 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos 2 x-\sqrt{\cos 2 x}}{x^{k}}=a \neq 0$ ，则 （A）$k=2, a=1$ ． （B）$k=-2, a=-1$ ． （C）$k=2, a=-2$ ． （D）$k=2, a=-1$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$\cos2x = 1-2x^2+O(x^4)$，$\displaystyle \sqrt{\cos2x} = 1-x^2-\frac{1}{2}x^4+O(x^6)$。 步骤2：$\displaystyle \cos2x - \sqrt{\cos2x} = (1-2x^2+O(x^4)) - (1-x^2-\frac{1}{2}x^4+O(x^6)) = -x^2+O(x^4)$。 步骤3：故$k=2$，$a=-1$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将cos2x和√cos2x展开为泰勒级数
使用泰勒展开：cos2x = 1 - 2x^2 + O(x^4)，√cos2x = 1 - x^2 - 1/2 x^4 + O(x^6)。
公式：cos u = 1 - u^2/2 + O(u^4)，√(1+u) = 1 + u/2 - u^2/8 + O(u^3)，其中 u = -2x^2 + O(x^4)
提示：注意展开到足够阶数，确保分子最低次幂准确。
步骤 2/3
目标：计算分子cos2x - √cos2x的展开式
相减得：cos2x - √cos2x = (1-2x^2+O(x^4)) - (1-x^2-1/2 x^4+O(x^6)) = -x^2 + O(x^4)。
公式：cos2x - √cos2x = -x^2 + O(x^4)
提示：注意O(x^4)表示高阶无穷小，不影响极限的主部。
步骤 3/3
目标：确定k和a的值
由极限存在且非零，分子等价于 -x^2，故分母应为 x^2，即 k=2，极限值 a = -1。
公式：lim_{x→0} (-x^2)/x^2 = -1
提示：比较分子分母的幂次，使极限为非零常数。
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