kaoyan3basic 高等数学 第132题
📝 题目
### 第132题 132． $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{\cos (\sin x)-\cos x}{(1-\cos x) \sin ^{2} x}=$ （A） 1 ． （B）$\displaystyle \frac{1}{2}$ ． （C）$\displaystyle \frac{1}{3}$ ． （D） 0 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**： 步骤1：$\displaystyle \cos(\sin x) = 1-\frac{\sin^2x}{2}+\frac{\sin^4x}{24}+O(x^6)$，$\displaystyle \cos x = 1-\frac{x^2}{2}+\frac{x^4}{24}+O(x^6)$。 步骤2：$\displaystyle \sin x = x-\frac{x^3}{6}+O(x^5)$，代入得$\displaystyle \cos(\sin x)-\cos x = \frac{1}{3}x^4+O(x^6)$。 步骤3：分母$\displaystyle (1-\cos x)\sin^2x = \frac{x^2}{2}\cdot x^2 + O(x^6) = \frac{x^4}{2}+O(x^6)$。 步骤4：原极限$\displaystyle =\frac{1/3}{1/2}=\frac{1}{3}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将分子中的cos(sin x)和cos x分别泰勒展开
cos(sin x) = 1 - (sin^2 x)/2 + (sin^4 x)/24 + O(x^6)，cos x = 1 - x^2/2 + x^4/24 + O(x^6)。
公式：cos u = 1 - u^2/2 + u^4/24 + O(u^6)
提示：注意展开到足够阶数，分子需要x^4项。
步骤 2/4
目标：将sin x的展开代入cos(sin x)中，并化简分子
sin x = x - x^3/6 + O(x^5)，代入得cos(sin x) = 1 - (x - x^3/6)^2/2 + (x - x^3/6)^4/24 + O(x^6) = 1 - x^2/2 + x^4/6 + O(x^6)。然后cos(sin x) - cos x = (1 - x^2/2 + x^4/6) - (1 - x^2/2 + x^4/24) + O(x^6) = x^4/8 + O(x^6)。
公式：cos(sin x) - cos x = x^4/8 + O(x^6)
提示：计算时注意合并同类项，保留x^4项。
步骤 3/4
目标：化简分母
1 - cos x = x^2/2 + O(x^4)，sin^2 x = x^2 + O(x^4)，所以分母 = (x^2/2) * x^2 + O(x^6) = x^4/2 + O(x^6)。
公式：(1-cos x) sin^2 x ~ x^4/2
提示：利用等价无穷小：1-cos x ~ x^2/2，sin x ~ x。
步骤 4/4
目标：计算极限
原极限 = lim_{x→0} (x^4/8 + O(x^6)) / (x^4/2 + O(x^6)) = (1/8) / (1/2) = 1/4。
公式：极限 = (1/8)/(1/2)=1/4
提示：注意分子展开结果应为x^4/8，但原解析中为x^4/3，此处按正确计算给出。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。