kaoyan3basic 高等数学 第133题
📝 题目
### 第133题 $\displaystyle 133 \lim _{x \rightarrow+\infty} \frac{\left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^{2}}}{\mathrm{e}^{x}}=$ （A） 1 ． （B）$\displaystyle e^{-\frac{1}{4}}$ ． （C）$\displaystyle e^{-\frac{1}{3}}$ ． （D） $\displaystyle \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}}$ ．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：$\displaystyle \left(1+\frac{1}{x}\right)^{x^2} = e^{x^2\ln(1+\frac{1}{x})} = e^{x^2\left(\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^2}+O(\frac{1}{x^3})\right)} = e^{x-\frac{1}{2}+O(\frac{1}{x})}$。 步骤2：原式$\displaystyle = \frac{e^{x-\frac{1}{2}+O(\frac{1}{x})}}{e^x} = e^{-\frac{1}{2}+O(\frac{1}{x})} \to e^{-\frac{1}{2}}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将幂指函数转化为指数形式
将 (1+1/x)^{x^2} 写成 e^{x^2 ln(1+1/x)} 的形式。
公式：a^b = e^{b ln a}
提示：当底数含有变量时，常用指数对数恒等式转换。
步骤 2/4
目标：对 ln(1+1/x) 进行泰勒展开
当 x→+∞ 时，1/x → 0，使用 ln(1+u) = u - u^2/2 + O(u^3)，其中 u=1/x，得到 ln(1+1/x) = 1/x - 1/(2x^2) + O(1/x^3)。
公式：ln(1+u) = u - u^2/2 + O(u^3) (u→0)
提示：注意展开到足够阶数，以便消去 x 的一次项。
步骤 3/4
目标：计算指数部分
将展开式代入指数：x^2 ln(1+1/x) = x^2(1/x - 1/(2x^2) + O(1/x^3)) = x - 1/2 + O(1/x)。
提示：x^2 乘以 O(1/x^3) 得到 O(1/x)，当 x→∞ 时趋于 0。
步骤 4/4
目标：代入原极限并化简
原式 = e^{x - 1/2 + O(1/x)} / e^x = e^{-1/2 + O(1/x)}，当 x→+∞ 时，O(1/x)→0，因此极限为 e^{-1/2}。
公式：e^{a+o(1)} → e^a (x→∞)
提示：注意极限过程是 x→+∞，O(1/x) 趋于 0。
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