kaoyan3basic 高等数学 第134题
📝 题目
### 第134题 134 已知 $\displaystyle I=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{a x^{2}+b x+1-\mathrm{e}^{x^{2}-2 x}}{x^{2}}=2$ ，则 （A）$a=5, b=-2$ ． （B）$a=-2, b=5$ ． （C）$a=2, b=0$ ． （D）$a=3, b=-3$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**： 步骤1：$\displaystyle e^{x^2-2x} = 1 + (x^2-2x) + \frac{(x^2-2x)^2}{2} + O(x^3) = 1 - 2x + 2x^2 + O(x^3)$。 步骤2：分子$=ax^2+bx+1 - (1-2x+2x^2+O(x^3)) = (a-2)x^2 + (b+2)x + O(x^3)$。 步骤3：极限为2，故一次项系数$b+2=0$，二次项系数$a-2=2$，解得$a=5, b=-2$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将指数函数 e^{x^2-2x} 展开为泰勒级数
利用 e^u = 1 + u + u^2/2 + O(u^3)，其中 u = x^2 - 2x，展开到 x^2 项：e^{x^2-2x} = 1 + (x^2-2x) + (x^2-2x)^2/2 + O(x^3) = 1 - 2x + 2x^2 + O(x^3)。
公式：e^u = 1 + u + u^2/2 + O(u^3)
提示：注意展开到 x^2 项即可，因为分母是 x^2。
步骤 2/3
目标：计算分子表达式
分子 = a x^2 + b x + 1 - [1 - 2x + 2x^2 + O(x^3)] = (a-2)x^2 + (b+2)x + O(x^3)。
提示：合并同类项，忽略高阶无穷小。
步骤 3/3
目标：利用极限条件确定参数
极限 I = lim_{x→0} [(a-2)x^2 + (b+2)x + O(x^3)] / x^2 = 2。由于极限存在且为2，一次项系数必须为0，即 b+2=0，解得 b=-2。然后二次项系数 a-2=2，解得 a=5。
提示：极限存在要求分子中 x 的系数为0，否则极限无穷大。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。