kaoyan3basic 高等数学 第125题
📝 题目
### 第125题 125 下列命题中正确的是 （A）若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时 $f(x) \geqslant g(x)$ ． （B）若存在 $\delta>0$ 使得当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ 且 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)=A_{0}$ ， $\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)=B_{0}$ 均存在，则 $A_{0}>B_{0}$ ． （C）若存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时 $f(x)>g(x) \Rightarrow \lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x) \geqslant \lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x)$ ． （D）若 $\lim _{x \rightarrow x_{0}} f(x)>\lim _{x \rightarrow x_{0}} g(x) \Rightarrow$ 存在 $\delta>0$ ，当 $0<\left|x-x_{0}\right|<\delta$ 时有 $f(x)>g(x)$ ． □
💡 答案解析
**答案**：D **解析**： 步骤1：选项A错误，反例：$f(x)=x^2, g(x)=0$在$x=0$处极限相等，但邻域内$f(x)\geq g(x)$成立，但结论方向不对。 步骤2：选项B错误，反例：$f(x)=x^2+1, g(x)=x^2$在$x=0$邻域内$f(x)>g(x)$，但极限相等。 步骤3：选项C正确，由极限保号性，若邻域内$f(x)>g(x)$，则极限满足$\lim f(x) \geq \lim g(x)$。 步骤4：选项D正确，若$\lim f(x) > \lim g(x)$，则存在邻域使$f(x)>g(x)$，这是极限保号性的推论。 **难度**：★★☆☆☆