kaoyan3basic 高等数学 第123题
📝 题目
### 第123题 123 有以下命题：设 $\lim _{x \rightarrow a} f(x)=A, \lim _{x \rightarrow a} g(x)$ 不存在， $\lim _{x \rightarrow a} h(x)$ 不存在， （1） $\lim _{x \rightarrow a}(f(x) \cdot g(x))$ 不存在． （2） $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+h(x))$ 不存在． （3） $\lim _{x \rightarrow a}(h(x) \cdot g(x))$ 不存在． （4） $\lim _{x \rightarrow a}(g(x)+f(x))$ 不存在． 则以上命题中正确的个数是 （A） 0 ． （B） 1 ． （C） 2 ． （D） 3 ． 124设函数 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{c}\frac{\ln (x-1)}{(x-1)(x-2)}, \\ 0,\end{array}\right.$ $$ $\begin{aligned}$ & x \in(1,2) \cup(2,+\infty) \text {, 则 } f(x) \\ & \qquad x=2 \\ & \text { (B) 在 }(2,+\infty) \text { 区间有界. } \\ & \text { (D) 在 }(1,2) \text { 和 }(2,+\infty) \text { 区间都无界. } \end{aligned} $$ （A）在 $(1,2)$ 区间有界． （C）在 $(1,+\infty)$ 区间有界． ✓
💡 答案解析
**答案**：B **解析**： 步骤1：分析命题(1)：若$f(x)$极限存在且非零，$g(x)$极限不存在，则乘积极限可能不存在，但若$f(x)$极限为零，则乘积极限可能为0，故(1)错误。 步骤2：分析命题(2)：两个极限均不存在的函数之和，极限可能存在（例如$\displaystyle g(x)=\frac{1}{x-a}, h(x)=-\frac{1}{x-a}$），故(2)错误。 步骤3：分析命题(3)：两个极限均不存在的函数之积，极限可能存在（例如$\displaystyle g(x)=\frac{1}{x-a}, h(x)=x-a$），故(3)错误。 步骤4：分析命题(4)：若$f(x)$极限存在，$g(x)$极限不存在，则和极限必不存在（反证法），故(4)正确。 因此正确命题个数为1。 **难度**：★★☆☆☆