kaoyan3basic 高等数学 第50题
📝 题目
### 第50题 50 设 $y=y(x)$ 二阶可导，且 $\displaystyle \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{~d} x}=(4-y) y^{\beta}(\beta>0)$ ，若 $y=y(x)$ 的一个拐点是 $\left(x_{0}\right.$ ， 3 ），则 $\beta=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\beta=1$ **解析**：步骤1：拐点处二阶导数为0，且$(x_0,3)$在曲线上，故$y=3$。步骤2：由$\displaystyle \frac{dy}{dx}=(4-y)y^\beta$，代入$y=3$得$y'=(4-3)\cdot3^\beta=3^\beta$。步骤3：对原式两边对$x$求导：$y''=(4-y)y^\beta$的导数，即$y''=-y'\cdot y^\beta+(4-y)\beta y^{\beta-1}y'$。步骤4：代入$y=3$，$y'=3^\beta$，且拐点处$y''=0$，得$0=-3^\beta\cdot3^\beta+(4-3)\beta\cdot3^{\beta-1}\cdot3^\beta=-3^{2\beta}+\beta\cdot3^{2\beta-1}$。步骤5：整理得$3^{2\beta-1}(\beta-3)=0$，因$3^{2\beta-1}\neq0$，故$\beta=3$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：利用拐点条件确定y值
拐点处二阶导数为0，且点(x0,3)在曲线上，故y=3。
提示：拐点处二阶导数为0，且点坐标满足曲线方程。
步骤 2/5
目标：计算一阶导数在y=3处的值
由dy/dx=(4-y)y^β，代入y=3得y'=(4-3)·3^β=3^β。
公式：y' = (4-y)y^β
提示：直接代入y值计算。
步骤 3/5
目标：对原方程两边求导得到二阶导数表达式
对dy/dx=(4-y)y^β两边对x求导，得y'' = -y'·y^β + (4-y)βy^(β-1)y'。
公式：y'' = -y' y^β + (4-y)β y^(β-1) y'
提示：使用乘积法则和链式法则。
步骤 4/5
目标：代入拐点条件y=3, y'=3^β, y''=0
代入得0 = -3^β·3^β + (4-3)β·3^(β-1)·3^β = -3^(2β) + β·3^(2β-1)。
公式：0 = -3^(2β) + β·3^(2β-1)
提示：注意指数运算。
步骤 5/5
目标：解方程求β
整理得3^(2β-1)(β-3)=0，因3^(2β-1)≠0，故β=3。
公式：3^(2β-1)(β-3)=0
提示：指数函数非零，因此β-3=0。
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