kaoyan3basic 高等数学 第49题
📝 题目
### 第49题 49 设函数 $f(x)$ 在 $x=0$ 处连续，且 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{\mathrm{e}^{x}-1}=2$ ，则曲线 $y=f(x)$ 在 $x=0$ 处的法线方程为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$x+2y-2=0$ **解析**：步骤1：由$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{e^x-1}=2$，且分母$\to0$，得$f(0)=0$。步骤2：$\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{e^x-1}\cdot\frac{e^x-1}{x}=2\cdot1=2$。步骤3：法线斜率$\displaystyle k=-\frac{1}{f'(0)}=-\frac{1}{2}$，过点$(0,0)$，法线方程为$\displaystyle y=-\frac{1}{2}x$，即$x+2y=0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：求f(0)的值
由极限lim_{x→0} f(x)/(e^x-1)=2，分母e^x-1→0，因此分子也必须趋于0，即lim_{x→0} f(x)=0。又f(x)在x=0处连续，所以f(0)=0。
公式：lim_{x→0} (e^x-1)=0
提示：利用极限存在的必要条件：分母趋于0时，分子必须趋于0。
步骤 2/3
目标：求f'(0)
f'(0)=lim_{x→0} (f(x)-f(0))/(x-0)=lim_{x→0} f(x)/x。将极限变形：f(x)/x = [f(x)/(e^x-1)] * [(e^x-1)/x]。已知lim_{x→0} f(x)/(e^x-1)=2，且lim_{x→0} (e^x-1)/x=1，所以f'(0)=2*1=2。
公式：f'(0)=lim_{x→0} f(x)/x; lim_{x→0} (e^x-1)/x=1
提示：利用极限乘法法则，将未知极限转化为已知极限的乘积。
步骤 3/3
目标：求法线方程
法线斜率k=-1/f'(0)=-1/2，且法线过点(0,0)，所以法线方程为y=(-1/2)x，即x+2y=0。
公式：法线斜率k=-1/f'(0); 点斜式方程y-y0=k(x-x0)
提示：注意法线与切线垂直，斜率乘积为-1。
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