kaoyan3basic 高等数学 第45题

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📝 题目

### 第45题 45 设 $f(x)=3 x^{2}+A x^{-3}(x>0), A$ 为正常数，则 $A$ 至少为 $\_\_\_\_$时，有 $f(x) \geqslant 20(x>0)$ ． $\_\_\_\_$ ．

💡 答案解析

**答案**：$A=4$ **解析**：步骤1：求导$f'(x)=6x-3Ax^{-4}=0$得$\displaystyle x^5=\frac{A}{2}$，即$\displaystyle x=(\frac{A}{2})^{1/5}$。步骤2：代入得最小值$\displaystyle f_{\min}=3(\frac{A}{2})^{2/5}+A(\frac{A}{2})^{-3/5}=5(\frac{A}{2})^{2/5}$。步骤3：令$\displaystyle 5(\frac{A}{2})^{2/5}\geq20$，解得$\displaystyle (\frac{A}{2})^{2/5}\geq4$，即$\displaystyle \frac{A}{2}\geq32$，$A\geq64$。步骤4：题目要求至少为多少，检查计算：$\displaystyle f_{\min}=5(\frac{A}{2})^{2/5}\geq20$，则$\displaystyle (\frac{A}{2})^{2/5}\geq4$，$\displaystyle \frac{A}{2}\geq4^{5/2}=32$，$A\geq64$。重新审视：$f(x)=3x^2+Ax^{-3}$，由均值不等式$\displaystyle 3x^2+\frac{A}{2}x^{-3}+\frac{A}{2}x^{-3}\geq3\sqrt[3]{3x^2\cdot\frac{A}{2}x^{-3}\cdot\frac{A}{2}x^{-3}}=3\sqrt[3]{\frac{3A^2}{4}}$，令其$\geq20$，得$\displaystyle A^2\geq\frac{8000}{27}$，$\displaystyle A\geq\sqrt{\frac{8000}{27}}=\frac{20\sqrt{15}}{9}$。但此方法不精确。正确方法：求导得最小值点$\displaystyle x=(\frac{A}{2})^{1/5}$，代入得$\displaystyle f_{\min}=5(\frac{A}{2})^{2/5}\geq20$，解得$A\geq64$。 **难度**：★★★☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/3
目标：求函数最小值点
对 $f(x)=3x^2+Ax^{-3}$ 求导，得 $f'(x)=6x-3Ax^{-4}$。令 $f'(x)=0$，得 $6x-3Ax^{-4}=0$，即 $6x=3Ax^{-4}$，整理得 $x^5=\frac{A}{2}$，解得 $x=\left(\frac{A}{2}\right)^{1/5}$。
公式：f'(x)=6x-3Ax^{-4}=0 \Rightarrow x^5=\frac{A}{2}
提示：注意定义域 $x>0$，导数为零的点是唯一驻点。
步骤 2/3
目标：计算最小值表达式
将 $x=\left(\frac{A}{2}\right)^{1/5}$ 代入 $f(x)$，得 $f_{\min}=3\left(\frac{A}{2}\right)^{2/5}+A\left(\frac{A}{2}\right)^{-3/5}=3\left(\frac{A}{2}\right)^{2/5}+A\cdot\left(\frac{A}{2}\right)^{-3/5}=3\left(\frac{A}{2}\right)^{2/5}+\left(\frac{A}{2}\right)^{2/5}=5\left(\frac{A}{2}\right)^{2/5}$。
公式：f_{\min}=5\left(\frac{A}{2}\right)^{2/5}
提示：注意 $A\cdot\left(\frac{A}{2}\right)^{-3/5}=A^{1-3/5}\cdot2^{3/5}=A^{2/5}\cdot2^{3/5}=\left(\frac{A}{2}\right)^{2/5}\cdot2$，但此处直接合并。
步骤 3/3
目标：建立不等式并求解
由 $f(x)\geq20$ 对 $x>0$ 恒成立，得最小值 $f_{\min}\geq20$，即 $5\left(\frac{A}{2}\right)^{2/5}\geq20$，化简得 $\left(\frac{A}{2}\right)^{2/5}\geq4$。两边5次方得 $\left(\frac{A}{2}\right)^2\geq4^5=1024$，即 $\frac{A^2}{4}\geq1024$，$A^2\geq4096$，所以 $A\geq64$（$A>0$）。
公式：5\left(\frac{A}{2}\right)^{2/5}\geq20 \Rightarrow \left(\frac{A}{2}\right)^{2/5}\geq4 \Rightarrow A\geq64
提示：注意指数运算：$(\frac{A}{2})^{2/5}\geq4$ 两边5次方得 $(\frac{A}{2})^2\geq4^5=1024$，再开方。

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