kaoyan3basic 高等数学 第51题
📝 题目
### 第51题 51 设 $\int x f^{\prime}(x) \mathrm{d} x=\arctan x+C$ ，则 $f(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle f(x)=\frac{\arctan x}{x}+C$ **解析**：步骤1：对等式两边求导：$\displaystyle xf'(x)=\frac{1}{1+x^2}$。步骤2：解得$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{x(1+x^2)}$。步骤3：积分得$\displaystyle f(x)=\int\frac{1}{x(1+x^2)}dx=\int(\frac{1}{x}-\frac{x}{1+x^2})dx=\ln|x|-\frac{1}{2}\ln(1+x^2)+C=\ln\frac{|x|}{\sqrt{1+x^2}}+C$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：对等式两边求导，得到 x f'(x) 的表达式
已知 ∫ x f'(x) dx = arctan x + C，两边对 x 求导，得 x f'(x) = 1/(1+x^2)。
公式：d/dx [∫ x f'(x) dx] = x f'(x) = d/dx (arctan x + C) = 1/(1+x^2)
提示：注意积分上限是变量 x，求导时直接得到被积函数。
步骤 2/3
目标：解出 f'(x)
由 x f'(x) = 1/(1+x^2)，得 f'(x) = 1/[x(1+x^2)]。
公式：f'(x) = 1/(x(1+x^2))
提示：注意 x ≠ 0。
步骤 3/3
目标：对 f'(x) 积分得到 f(x)
f(x) = ∫ 1/[x(1+x^2)] dx。将 1/[x(1+x^2)] 分解为部分分式：1/[x(1+x^2)] = 1/x - x/(1+x^2)。积分得 f(x) = ∫ (1/x - x/(1+x^2)) dx = ln|x| - (1/2) ln(1+x^2) + C = ln(|x|/√(1+x^2)) + C。
公式：∫ 1/(x(1+x^2)) dx = ∫ (1/x - x/(1+x^2)) dx = ln|x| - (1/2) ln(1+x^2) + C
提示：分解部分分式时，注意分子分母次数。
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