kaoyan3basic 高等数学 第52题
📝 题目
### 第52题 $\displaystyle 52 . I=\int \sqrt{\frac{3-2 x}{3+2 x}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{3}{2}\arcsin\frac{2x}{3}+\frac{1}{2}\sqrt{9-4x^2}+C$ **解析**：步骤1：令$\displaystyle x=\frac{3}{2}\sin t$，则$\displaystyle dx=\frac{3}{2}\cos t dt$，$\displaystyle \sqrt{\frac{3-2x}{3+2x}}=\sqrt{\frac{3-3\sin t}{3+3\sin t}}=\sqrt{\frac{1-\sin t}{1+\sin t}}=\frac{1-\sin t}{|\cos t|}$。步骤2：取$\cos t>0$，原积分$\displaystyle =\int\frac{1-\sin t}{\cos t}\cdot\frac{3}{2}\cos t dt=\frac{3}{2}\int(1-\sin t)dt=\frac{3}{2}(t+\cos t)+C$。步骤3：回代$\displaystyle t=\arcsin\frac{2x}{3}$，$\displaystyle \cos t=\sqrt{1-\frac{4x^2}{9}}=\frac{\sqrt{9-4x^2}}{3}$，得$\displaystyle \frac{3}{2}\arcsin\frac{2x}{3}+\frac{1}{2}\sqrt{9-4x^2}+C$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：化简被积函数并换元
令 x = (3/2) sin t，则 dx = (3/2) cos t dt，且 √((3-2x)/(3+2x)) = √((3-3 sin t)/(3+3 sin t)) = √((1-sin t)/(1+sin t)) = (1-sin t)/|cos t|。取 cos t > 0，则原积分化为 ∫ (1-sin t)/cos t * (3/2) cos t dt = (3/2) ∫ (1-sin t) dt。
公式：x = (3/2) sin t, dx = (3/2) cos t dt, √((1-sin t)/(1+sin t)) = (1-sin t)/|cos t|
提示：注意开方后绝对值处理，根据 t 的范围确定 cos t 的正负。
步骤 2/3
目标：积分计算
计算 (3/2) ∫ (1-sin t) dt = (3/2)(t + cos t) + C。
公式：∫ (1-sin t) dt = t + cos t + C
提示：基本积分公式。
步骤 3/3
目标：回代变量
由 x = (3/2) sin t 得 t = arcsin(2x/3)，cos t = √(1 - (2x/3)^2) = √(9-4x^2)/3。代入得 (3/2) arcsin(2x/3) + (3/2)*(√(9-4x^2)/3) + C = (3/2) arcsin(2x/3) + (1/2)√(9-4x^2) + C。
公式：t = arcsin(2x/3), cos t = √(9-4x^2)/3
提示：注意回代时系数化简。
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