kaoyan3basic 高等数学 第53题
📝 题目
### 第53题 $\displaystyle 53 I=\int \frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1)^{2}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -2\frac{\sqrt{x+1}+2}{x+1}+C$ **解析**：步骤1：令$t=\sqrt{x+1}$，则$x=t^2-1$，$dx=2t dt$，原积分$\displaystyle =\int\frac{t+2}{t^4}\cdot2t dt=2\int\frac{t+2}{t^3}dt=2\int(t^{-2}+2t^{-3})dt$。步骤2：积分得$\displaystyle 2(-t^{-1}-t^{-2})+C=-\frac{2}{t}-\frac{2}{t^2}+C$。步骤3：回代$t=\sqrt{x+1}$，得$\displaystyle -\frac{2}{\sqrt{x+1}}-\frac{2}{x+1}+C$，即$\displaystyle -2\frac{\sqrt{x+1}+1}{x+1}+C$。检查：原式分母为$(x+1)^2$，分子$\sqrt{x+1}+2$，结果应为$\displaystyle -2\frac{\sqrt{x+1}+1}{x+1}+C$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：换元简化积分
令 $t = \sqrt{x+1}$，则 $x = t^2 - 1$，$dx = 2t\,dt$。原积分化为 $\int \frac{t+2}{t^4} \cdot 2t\,dt = 2\int \frac{t+2}{t^3}\,dt = 2\int (t^{-2} + 2t^{-3})\,dt$。
公式：$\int \frac{\sqrt{x+1}+2}{(x+1)^2}\,dx = 2\int (t^{-2} + 2t^{-3})\,dt$
提示：注意 $dx = 2t\,dt$ 的推导，以及分母 $(x+1)^2 = t^4$。
步骤 2/3
目标：积分计算
对 $2\int (t^{-2} + 2t^{-3})\,dt$ 积分：$2\left( \frac{t^{-1}}{-1} + 2\cdot\frac{t^{-2}}{-2} \right) + C = -2t^{-1} - 2t^{-2} + C$。
公式：$\int t^n\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1} + C$（$n \neq -1$）
提示：注意负号的处理，$\int t^{-2}\,dt = -t^{-1}$，$\int t^{-3}\,dt = -\frac{1}{2}t^{-2}$。
步骤 3/3
目标：回代变量
将 $t = \sqrt{x+1}$ 代回：$-\frac{2}{\sqrt{x+1}} - \frac{2}{x+1} + C = -2\frac{\sqrt{x+1}+1}{x+1} + C$。
公式：$t = \sqrt{x+1}$
提示：最终结果可写为 $-2\frac{\sqrt{x+1}+1}{x+1}+C$，注意与答案形式一致。
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