kaoyan3basic 高等数学 第54题
📝 题目
### 第54题 $\displaystyle 54 I=\int \frac{x \mathrm{e}^{x}}{\sqrt{1+\mathrm{e}^{x}}} \mathrm{~d} x=$ $\_\_\_\_$ ． Quan新笔说
💡 答案解析
**答案**：$2(x-2)\sqrt{1+e^x}+C$ **解析**：步骤1：令$t=\sqrt{1+e^x}$，则$e^x=t^2-1$，$x=\ln(t^2-1)$，$\displaystyle dx=\frac{2t}{t^2-1}dt$，原积分$\displaystyle =\int\frac{\ln(t^2-1)\cdot(t^2-1)}{t}\cdot\frac{2t}{t^2-1}dt=2\int\ln(t^2-1)dt$。步骤2：分部积分$\displaystyle 2[t\ln(t^2-1)-\int t\cdot\frac{2t}{t^2-1}dt]=2t\ln(t^2-1)-4\int\frac{t^2}{t^2-1}dt=2t\ln(t^2-1)-4\int(1+\frac{1}{t^2-1})dt=2t\ln(t^2-1)-4t-2\ln|\frac{t-1}{t+1}|+C$。步骤3：回代$t=\sqrt{1+e^x}$，得$\displaystyle 2\sqrt{1+e^x}\cdot x-4\sqrt{1+e^x}-2\ln\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}+C$。化简：$\displaystyle 2(x-2)\sqrt{1+e^x}-2\ln\frac{\sqrt{1+e^x}-1}{\sqrt{1+e^x}+1}+C$。 **难度**：★★★★☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：换元简化积分
令 t = √(1+e^x)，则 e^x = t^2 - 1，x = ln(t^2 - 1)，dx = 2t/(t^2-1) dt。代入原积分得 I = ∫ [ln(t^2-1) * (t^2-1) / t] * [2t/(t^2-1)] dt = 2∫ ln(t^2-1) dt。
公式：t = √(1+e^x), dx = 2t/(t^2-1) dt
提示：注意换元后分母 t 与分子中的 t 约去，简化积分。
步骤 2/4
目标：分部积分
对 2∫ ln(t^2-1) dt 分部积分：令 u = ln(t^2-1), dv = dt，则 du = 2t/(t^2-1) dt, v = t。得 2[t ln(t^2-1) - ∫ t * 2t/(t^2-1) dt] = 2t ln(t^2-1) - 4∫ t^2/(t^2-1) dt。
公式：∫ u dv = uv - ∫ v du
提示：分部积分时注意正确计算 du。
步骤 3/4
目标：化简积分
∫ t^2/(t^2-1) dt = ∫ (1 + 1/(t^2-1)) dt = t + (1/2) ln|(t-1)/(t+1)| + C。所以 2t ln(t^2-1) - 4[t + (1/2) ln|(t-1)/(t+1)|] + C = 2t ln(t^2-1) - 4t - 2 ln|(t-1)/(t+1)| + C。
公式：∫ 1/(t^2-1) dt = (1/2) ln|(t-1)/(t+1)| + C
提示：注意 t^2-1 的分解和部分分式积分。
步骤 4/4
目标：回代变量
将 t = √(1+e^x) 代回：2√(1+e^x) ln(e^x) - 4√(1+e^x) - 2 ln|(√(1+e^x)-1)/(√(1+e^x)+1)| + C = 2x√(1+e^x) - 4√(1+e^x) - 2 ln[(√(1+e^x)-1)/(√(1+e^x)+1)] + C = 2(x-2)√(1+e^x) - 2 ln[(√(1+e^x)-1)/(√(1+e^x)+1)] + C。
公式：ln(t^2-1) = ln(e^x) = x
提示：注意 ln(t^2-1) = x，简化表达式。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。