kaoyan3basic 高等数学 第55题
📝 题目
### 第55题 55 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}\sin x+1, & x>0, \\ \frac{1}{1+x^{2}}, & x \leqslant 0,\end{array}\right.$ 则 $f(x)$ 的所有原函数为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$F(x)=\begin{cases} -\cos x + x + C, & x>0 \\ \arctan x + C, & x \le 0 \end{cases}$，其中$C$为任意常数。 **解析**：步骤1：分段求不定积分。当$x>0$时，$\int(\sin x+1)dx=-\cos x+x+C_1$；当$x\le0$时，$\displaystyle \int\frac{1}{1+x^2}dx=\arctan x+C_2$。步骤2：原函数在$x=0$处连续，故$\lim_{x\to0^+}(-\cos x+x+C_1)=\lim_{x\to0^-}(\arctan x+C_2)$，得$-1+C_1=0+C_2$，即$C_2=C_1-1$。步骤3：令$C_1=C$，则$C_2=C-1$，得原函数。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分段求不定积分
当x>0时，∫(sin x+1)dx = -cos x + x + C1；当x≤0时，∫1/(1+x^2)dx = arctan x + C2。
公式：∫sin x dx = -cos x + C; ∫1 dx = x + C; ∫1/(1+x^2) dx = arctan x + C
提示：注意分段积分时分别使用不同的常数。
步骤 2/3
目标：利用连续性确定常数关系
原函数在x=0处连续，因此左极限等于右极限：lim_{x→0+}(-cos x + x + C1) = lim_{x→0-}(arctan x + C2)，即-1 + 0 + C1 = 0 + C2，得C2 = C1 - 1。
公式：连续性条件：lim_{x→0+}F(x) = lim_{x→0-}F(x)
提示：分段函数原函数在分段点处必须连续。
步骤 3/3
目标：写出原函数表达式
令C1 = C，则C2 = C - 1，代入得F(x) = { -cos x + x + C, x>0; arctan x + C - 1, x≤0 }。
提示：最终结果中常数C为任意常数。
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