kaoyan3basic 高等数学 第577题
📝 题目
### 第577题 577．设 $\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}}$ ，则 $f[f(x)]=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{x}{\sqrt{1+2x^2}}$ **解析**：$\displaystyle f(x)=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}$，则$\displaystyle f[f(x)] = \frac{\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}{\sqrt{1+\left(\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right)^2}} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{1+\frac{x^2}{1+x^2}}} = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} \cdot \frac{\sqrt{1+x^2}}{\sqrt{1+2x^2}} = \frac{x}{\sqrt{1+2x^2}}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：写出复合函数表达式
将 f(x) 代入自身，得到 f[f(x)] = f( x/√(1+x^2) ) = (x/√(1+x^2)) / √(1 + (x/√(1+x^2))^2)。
公式：f[f(x)] = f( f(x) )
提示：注意复合函数的定义：内层函数的值作为外层函数的自变量。
步骤 2/4
目标：化简分母中的根号
计算分母：√(1 + (x/√(1+x^2))^2) = √(1 + x^2/(1+x^2)) = √((1+x^2 + x^2)/(1+x^2)) = √((1+2x^2)/(1+x^2))。
公式：√(1 + (x/√(1+x^2))^2) = √((1+2x^2)/(1+x^2))
提示：通分时注意分母为1+x^2。
步骤 3/4
目标：将除法转化为乘法
f[f(x)] = (x/√(1+x^2)) / √((1+2x^2)/(1+x^2)) = (x/√(1+x^2)) * √((1+x^2)/(1+2x^2))。
公式：a / √(b/c) = a * √(c/b)
提示：除以根号等于乘以根号的倒数。
步骤 4/4
目标：约分并得到最终结果
√(1+x^2) 与 √(1+x^2) 约去，得到 f[f(x)] = x / √(1+2x^2)。
公式：x/√(1+x^2) * √(1+x^2)/√(1+2x^2) = x/√(1+2x^2)
提示：注意根号运算的乘法法则。
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