kaoyan3basic 高等数学 第578题
📝 题目
### 第578题 $\displaystyle 578 \lim _{x \rightarrow 0} \frac{x-(x+1) \ln (x+1)}{x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ． □ 纠籍笔记
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle -\frac12$ **解析**：$\displaystyle \lim_{x\to0} \frac{x-(x+1)\ln(x+1)}{x^2}$，用洛必达法则：分子导数为$1-\ln(x+1)-1 = -\ln(x+1)$，分母导数为$2x$，原极限$\displaystyle =\lim_{x\to0} \frac{-\ln(x+1)}{2x} = -\frac12$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：识别极限形式
当x→0时，分子x-(x+1)ln(x+1)和分母x^2都趋于0，因此该极限为0/0型未定式，适合使用洛必达法则。
提示：检查是否为0/0或∞/∞型，否则不能直接使用洛必达法则。
步骤 2/3
目标：应用洛必达法则
对分子和分母分别求导。分子导数：d/dx [x - (x+1)ln(x+1)] = 1 - [ln(x+1) + (x+1)*(1/(x+1))] = 1 - [ln(x+1) + 1] = -ln(x+1)。分母导数：d/dx [x^2] = 2x。因此原极限化为lim_{x→0} [-ln(x+1)]/(2x)。
公式：洛必达法则：lim f(x)/g(x) = lim f'(x)/g'(x)（满足条件时）
提示：求导时注意复合函数求导法则，尤其是(x+1)ln(x+1)的导数。
步骤 3/3
目标：计算化简后的极限
新极限lim_{x→0} [-ln(x+1)]/(2x)仍为0/0型，可再次使用洛必达法则或利用等价无穷小。这里利用等价无穷小：当x→0时，ln(1+x) ~ x，所以-ln(1+x) ~ -x，因此极限为lim_{x→0} (-x)/(2x) = -1/2。
公式：等价无穷小：ln(1+x) ~ x (x→0)
提示：也可再次使用洛必达法则：分子导数为-1/(x+1)，分母导数为2，代入x=0得-1/2。
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