kaoyan3basic 高等数学 第580题
📝 题目
### 第580题 580 当 $x \rightarrow 0$ 时，连续函数 $f(x)$ 为二阶无穷小， $\int_{0}^{\sqrt[3]{x}} f(t) \mathrm{d} t$ 为 $k$ 阶无穷小，则 $k=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac53$ **解析**：$f(x)$为二阶无穷小，即$f(x)\sim ax^2 (x\to0)$，则$\displaystyle \int_0^{\sqrt[3]{x}} f(t) dt \sim \int_0^{\sqrt[3]{x}} a t^2 dt = \frac{a}{3} x$，故为1阶无穷小，$k=1$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：理解无穷小的阶数定义
若当x→0时，f(x)~ax^2，则称f(x)为二阶无穷小。
公式：f(x) ~ a x^2 (x→0)
提示：注意无穷小的阶数是指与x^α比较，α为阶数。
步骤 2/4
目标：将f(t)用等价无穷小替换
由于f(t)在t→0时等价于a t^2，代入积分中。
公式：∫_0^{∛x} f(t) dt ~ ∫_0^{∛x} a t^2 dt
提示：等价无穷小替换在积分中需谨慎，但此处f连续且为二阶无穷小，可替换。
步骤 3/4
目标：计算积分
计算∫_0^{∛x} a t^2 dt = a/3 * (∛x)^3 = a/3 * x。
公式：∫_0^{∛x} a t^2 dt = (a/3) x
提示：注意(∛x)^3 = x。
步骤 4/4
目标：确定积分结果的阶数
积分结果与x的一次方成正比，因此为1阶无穷小，即k=1。
提示：常数因子不影响阶数。
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