kaoyan3basic 高等数学 第581题
📝 题目
### 第581题 $\displaystyle 581 f(x)=\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{x^{2 n-1}+x}{x^{2 n}+1}$ 的不可导点的个数正好有 $\_\_\_\_$个．
💡 答案解析
**答案**：2 **解析**：$\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty} \frac{x^{2n-1}+x}{x^{2n}+1}$，当$|x|<1$时，$x^{2n}\to0$，$f(x)=x$；当$|x|>1$时，$\displaystyle f(x)=\lim_{n\to\infty} \frac{x^{-1}+x^{1-2n}}{1+x^{-2n}} = \frac1x$；当$x=1$时，$\displaystyle f(1)=\frac{1+1}{1+1}=1$；当$x=-1$时，$\displaystyle f(-1)=\frac{-1-1}{1+1}=-1$。故$\displaystyle f(x)=\begin{cases} x, & |x|<1 \\ \frac1x, & |x|>1 \\ 1, & x=1 \\ -1, & x=-1 \end{cases}$，在$x=\pm1$处左右导数不相等，不可导点个数为2。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：分析极限表达式在不同|x|范围下的行为
当|x|<1时，x^{2n}→0，因此f(x)=x；当|x|>1时，分子分母同除以x^{2n}，得f(x)=1/x；当x=1时，直接代入得f(1)=1；当x=-1时，代入得f(-1)=-1。
公式：f(x)=lim_{n→∞} (x^{2n-1}+x)/(x^{2n}+1)
提示：注意x=±1需要单独计算，因为极限形式不直接适用。
步骤 2/4
目标：写出分段函数表达式
综合以上，f(x)= { x, |x|<1; 1/x, |x|>1; 1, x=1; -1, x=-1 }。
提示：分段点x=±1处函数值已定义。
步骤 3/4
目标：判断不可导点
在x=1处，左导数f'_-(1)=1，右导数f'_+(1)=lim_{x→1+} (1/x - 1)/(x-1) = -1，左右导数不相等，故不可导。在x=-1处，左导数f'_-( -1)=lim_{x→-1-} (1/x +1)/(x+1) = -1，右导数f'_+(-1)=1，左右导数不相等，故不可导。其他点均可导。
公式：f'_-(a) ≠ f'_+(a) ⇒ 不可导
提示：计算导数时注意分段函数在分段点处的左右导数。
步骤 4/4
目标：得出不可导点个数
不可导点为x=±1，共2个。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。