kaoyan3basic 高等数学 第582题
📝 题目
### 第582题 582 设 $\displaystyle f(x)=\left\{\begin{array}{cc}h(x) \sin \frac{1}{x}, & x \neq 0 \\ 0, & x=0\end{array}\right.$ 并设 $h(x)$ 在 $x=0$ 处可导，$h(0)=0, h^{\prime}(0)=0$ ．则 $f^{\prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：0 **解析**：$\displaystyle f'(0)=\lim_{x\to0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x\to0} \frac{h(x)\sin\frac1x}{x}$，由于$h(0)=0, h'(0)=0$，则$h(x)=o(x)$，故$\displaystyle \frac{h(x)}{x}\to0$，而$\displaystyle \sin\frac1x$有界，因此极限为0。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：写出导数定义式
根据导数定义，$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x-0} = \lim_{x \to 0} \frac{h(x)\sin\frac{1}{x}}{x}$。
公式：$f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}$
提示：注意$f(0)=0$，代入即可。
步骤 2/3
目标：利用已知条件处理$h(x)$
由$h(0)=0$，$h'(0)=0$，可知$h(x)=o(x)$，即$\lim_{x\to0}\frac{h(x)}{x}=0$。
公式：$h(x)=o(x)$ 等价于 $\lim_{x\to0}\frac{h(x)}{x}=0$
提示：可导且导数为0，说明$h(x)$在0附近比$x$更快趋于0。
步骤 3/3
目标：计算极限
原极限 $\lim_{x\to0}\frac{h(x)}{x}\cdot\sin\frac{1}{x}$，其中$\frac{h(x)}{x}\to0$，而$\sin\frac{1}{x}$有界，故极限为0。
公式：$\lim_{x\to0}\frac{h(x)}{x}\cdot\sin\frac{1}{x}=0$
提示：有界函数乘以无穷小仍为无穷小。
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