kaoyan3basic 高等数学 第584题
📝 题目
### 第584题 584 设 $\displaystyle y=\frac{2 x+2}{x^{2}+2 x-3}$ ，则其 $n$ 阶导数 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{n} y}{\mathrm{~d} x^{n}}=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}} + \frac{(-1)^n n!}{(x+3)^{n+1}}$ **解析**： 步骤1：将$y$分解为部分分式。 $\displaystyle y=\frac{2x+2}{x^2+2x-3}=\frac{2x+2}{(x-1)(x+3)}=\frac{1}{x-1}+\frac{1}{x+3}$。 步骤2：分别求$n$阶导数。 $\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}\left(\frac{1}{x-1}\right)=\frac{(-1)^n n!}{(x-1)^{n+1}}$， $\displaystyle \frac{d^n}{dx^n}\left(\frac{1}{x+3}\right)=\frac{(-1)^n n!}{(x+3)^{n+1}}$。 步骤3：相加得结果。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将有理函数分解为部分分式之和
首先对分母因式分解：x^2+2x-3=(x-1)(x+3)。然后设2x+2/((x-1)(x+3))=A/(x-1)+B/(x+3)，通分后比较分子得A=1，B=1，所以y=1/(x-1)+1/(x+3)。
公式：部分分式分解
提示：注意分子分母的次数，若分子次数不低于分母，需先多项式除法。
步骤 2/3
目标：分别求1/(x-1)和1/(x+3)的n阶导数
利用公式d^n/dx^n[1/(x-a)]=(-1)^n n!/(x-a)^{n+1}，分别代入a=1和a=-3。
公式：d^n/dx^n[1/(x-a)]=(-1)^n n!/(x-a)^{n+1}
提示：注意符号和阶乘，n阶导数公式可记忆。
步骤 3/3
目标：将两个n阶导数相加得到最终结果
将上一步结果相加：y^{(n)}=(-1)^n n!/(x-1)^{n+1} + (-1)^n n!/(x+3)^{n+1}。
提示：结果中两项形式相同，仅分母不同。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。