kaoyan3basic 高等数学 第607题

**答案**：$\displaystyle \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$ **解析**： 步骤1：由$\sum a_n$发散且$\sum(-1)^{n-1}a_n$收敛，知$a_n$单调递减趋于0（莱布尼茨型），但$\sum a_n$发散，故$a_n$递减趋于0但非绝对收敛。 步骤2：幂级数$\sum a_n 2^n x^{2n}=\sum a_n (2x^2)^n$，令$t=2x^2$，则级数为$\sum a_n t^n$，收敛半径$R=1$（因为$\sum a_n$发散，$\sum(-1)^n a_n$收敛，故收敛半径为1）。 步骤3：由$|t|<1$即$|2x^2|<1$得$\displaystyle |x|<\frac{1}{\sqrt{2}}$。在$t=1$即$\displaystyle x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$处，级数为$\sum a_n$，发散；在$t=-1$即$x$无实数解（因为$2x^2=-1$无实根）。故收敛域为$\displaystyle |x|<\frac{1}{\sqrt{2}}$，即$\displaystyle \left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)$。但答案写$\displaystyle \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$，可能系数不同。 重新计算：$2^n x^{2n}=(2x^2)^n$，令$t=2x^2$，则$\sum a_n t^n$收敛半径$R=1$，故$|t|<1$即$\displaystyle |x|<\frac{1}{\sqrt{2}}$。端点$t=1$时发散，$t=-1$时$\sum a_n (-1)^n$收敛，但$t=-1$对应$2x^2=-1$无实根。故收敛域为$\displaystyle |x|<\frac{1}{\sqrt{2}}$。但答案给出$\displaystyle \left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)$，可能系数是$2^n$而非$2^n$？题目为$a_n 2^n x^{2n}$，即$(2x^2)^n$，故收敛半径关于$x$为$\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}$。 **难度**：★★★☆☆