kaoyan3basic 高等数学 第608题
📝 题目
### 第608题 608 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2^{n}}\right) x^{n}$ 的收敛域为 $\_\_\_\_$ ，和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\left[0,2\right)$ **解析**： 步骤1：幂级数$\displaystyle \sum a_n\left(x-\frac{1}{2}\right)^n$在$x=2$处发散，即$\displaystyle |2-\frac{1}{2}|=\frac{3}{2}$在收敛半径外，故$\displaystyle R\leq\frac{3}{2}$；在$x=-1$处收敛，即$\displaystyle |-1-\frac{1}{2}|=\frac{3}{2}$在收敛半径内或边界，故$\displaystyle R\geq\frac{3}{2}$。因此$\displaystyle R=\frac{3}{2}$。 步骤2：幂级数$\sum a_n (x-1)^n$的收敛半径相同，为$\displaystyle R=\frac{3}{2}$。收敛区间中心为$x=1$，故$\displaystyle |x-1|<\frac{3}{2}$即$\displaystyle -\frac{1}{2}
📋 详细解题步骤
步骤 1/5
目标：将幂级数分解为两个简单级数之和
原级数可写为 ∑(1/n)x^n + ∑(1/2^n)x^n，分别求收敛域。
提示：利用线性性质分别处理
步骤 2/5
目标：求第一个级数 ∑(1/n)x^n 的收敛域
对于 ∑(1/n)x^n，收敛半径 R1=1，当 x=1 时发散（调和级数），x=-1 时收敛（交错调和级数），所以收敛域为 [-1,1)。
公式：R = lim |a_n/a_{n+1}| = 1
提示：注意端点需单独判断
步骤 3/5
目标：求第二个级数 ∑(1/2^n)x^n 的收敛域
对于 ∑(x/2)^n，收敛半径 R2=2，当 x=2 时发散（通项不趋于0），x=-2 时发散（通项不趋于0），所以收敛域为 (-2,2)。
公式：R = 2
提示：几何级数，直接使用公式
步骤 4/5
目标：求原级数的收敛域
取两个收敛域的交集：[-1,1) ∩ (-2,2) = [-1,1)。但注意原级数在 x=1 时发散，x=-1 时收敛，所以收敛域为 [-1,1)。然而答案给出 [0,2)，可能题目有误。根据常见题型，原级数应为 ∑(1/n + 1/2^n)x^n，收敛域为 [-1,1)。
提示：交集运算，注意端点
步骤 5/5
目标：求原级数的和函数
S(x) = ∑(1/n)x^n + ∑(1/2^n)x^n = -ln(1-x) + 1/(1-x/2) = -ln(1-x) + 2/(2-x)，收敛域为 [-1,1)。
公式：∑(1/n)x^n = -ln(1-x), |x|<1; ∑(x/2)^n = 1/(1-x/2), |x|<2
提示：利用已知展开式
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