kaoyan3basic 高等数学 第609题
📝 题目
### 第609题 609 幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n} \frac{2 n+1}{(2 n)!} x^{2 n}$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ $(x \in$ $\_\_\_\_$ ）．
💡 答案解析
**答案**：$R=4$，收敛域为$[-4,4)$ **解析**： 步骤1：求收敛半径，系数$\displaystyle a_n=\frac{1}{n[4^n+(-3)^n]}$，利用根值法：$\displaystyle \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{\sqrt[n]{n}\cdot\sqrt[n]{4^n+(-3)^n}}=\frac{1}{4}$，故$R=4$。 步骤2：在$x=4$处，级数为$\displaystyle \sum\frac{4^n}{n[4^n+(-3)^n]}=\sum\frac{1}{n[1+(-\frac{3}{4})^n]}\sim\sum\frac{1}{n}$，发散；在$x=-4$处，级数为$\displaystyle \sum\frac{(-4)^n}{n[4^n+(-3)^n]}=\sum\frac{(-1)^n}{n[1+(-\frac{3}{4})^n]}$，交错且通项绝对值递减趋于0，收敛。故收敛域为$[-4,4)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：求收敛半径
系数为 a_n = 1/(n[4^n+(-3)^n])，利用根值法：lim_{n→∞} (|a_n|)^(1/n) = lim_{n→∞} 1/(n^(1/n) * (4^n+(-3)^n)^(1/n)) = 1/4，故收敛半径 R=4。
公式：R = 1/lim_{n→∞} (|a_n|)^(1/n)
提示：注意根值法适用于通项含幂次的情况。
步骤 2/2
目标：判断端点收敛性
在 x=4 处，级数为 ∑ 4^n/(n[4^n+(-3)^n]) = ∑ 1/(n[1+(-3/4)^n]) ~ ∑ 1/n，发散；在 x=-4 处，级数为 ∑ (-4)^n/(n[4^n+(-3)^n]) = ∑ (-1)^n/(n[1+(-3/4)^n])，交错且通项绝对值递减趋于0，收敛。故收敛域为 [-4,4)。
公式：比较判别法，莱布尼茨判别法
提示：端点处需单独判断，注意等价无穷小替换。
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