kaoyan3basic 高等数学 第610题
📝 题目
### 第610题 610 幂级数 $$ 1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{2 \cdot 4}-\frac{x^{6}}{2 \cdot 4 \cdot 6}+\cdots+(-1)^{n} \frac{x^{2 n}}{(2 n)!!}+\cdots $$ 的和函数 $S(x)=$ $\_\_\_\_$ ． □
💡 答案解析
**答案**：收敛域$[-1,1)$，和函数$\displaystyle S(x)=-\ln(1-x)+\frac{1}{1-\frac{x}{2}}$ **解析**： 步骤1：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}x^n=-\ln(1-x)$，收敛域$[-1,1)$。 步骤2：$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2^n}x^n=\frac{\frac{x}{2}}{1-\frac{x}{2}}=\frac{x}{2-x}$，收敛域$|x|<2$。 步骤3：和函数$\displaystyle S(x)=-\ln(1-x)+\frac{x}{2-x}$，收敛域为两者交集$[-1,1)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：识别幂级数形式
观察级数通项为 $(-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!!}$，其中 $(2n)!! = 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) = 2^n n!$，因此通项可改写为 $(-1)^n \frac{x^{2n}}{2^n n!}$。
公式：$(2n)!! = 2^n n!$
提示：双阶乘化简是关键步骤。
步骤 2/3
目标：将级数转化为已知展开式
原级数 $S(x) = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{2^n n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-x^2/2)^n}{n!} = e^{-x^2/2}$。
公式：$e^t = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n}{n!}$
提示：注意 $n$ 从0开始，第一项为1。
步骤 3/3
目标：确定收敛域
由于 $e^{-x^2/2}$ 对所有实数 $x$ 收敛，故收敛域为 $(-\infty, +\infty)$。
提示：指数级数收敛半径为无穷。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。