kaoyan3basic 高等数学 第606题
📝 题目
### 第606题 606 已知幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} a_{n}\left(x-\frac{1}{2}\right)^{n}$ 在 $x=2$ 处发散，在 $x=-1$ 处收敛，则幂级数 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}(x-1)^{n}$ 的收敛域是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$1$ **解析**： 步骤1：幂级数$\sum a_n x^n$在$x=1$处条件收敛，则收敛半径$R=1$。 步骤2：幂级数$\sum a_n (x-1)^n$的收敛半径相同，为$R=1$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：确定原级数的收敛半径
已知幂级数 ∑ a_n (x-1/2)^n 在 x=2 处发散，在 x=-1 处收敛。计算收敛中心为 1/2，点 x=2 到中心的距离为 |2-1/2|=3/2，点 x=-1 到中心的距离为 |-1-1/2|=3/2。由于在 x=2 处发散，在 x=-1 处收敛，说明收敛半径 R 满足 R=3/2（因为两点到中心距离相等，且一边发散一边收敛，故 R 恰好等于该距离）。
公式：R = |x - x0|
提示：注意收敛半径的定义：在收敛圆内绝对收敛，圆外发散，边界上可能收敛也可能发散。
步骤 2/3
目标：确定目标级数的收敛半径
目标级数为 ∑ a_n (x-1)^n，其收敛中心为 1。由于系数相同，收敛半径不变，仍为 R=3/2。
公式：R = 3/2
提示：幂级数的收敛半径只与系数有关，与平移无关。
步骤 3/3
目标：判断端点收敛性
目标级数的收敛区间为 (1-3/2, 1+3/2) = (-1/2, 5/2)。需要判断端点 x=-1/2 和 x=5/2 处的收敛性。原级数在 x=-1 处收敛，对应目标级数中 x=1/2？注意：原级数 ∑ a_n (x-1/2)^n 在 x=-1 处收敛，即 ∑ a_n (-3/2)^n 收敛。目标级数在 x=-1/2 处为 ∑ a_n (-3/2)^n，相同，故收敛。原级数在 x=2 处发散，即 ∑ a_n (3/2)^n 发散。目标级数在 x=5/2 处为 ∑ a_n (3/2)^n，相同，故发散。因此收敛域为 [-1/2, 5/2)。
公式：端点代入比较
提示：注意原级数端点与目标级数端点的对应关系。
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