kaoyan3basic 高等数学 第161题
📝 题目
### 第161题 161 设 $f(x)=\left\{\begin{array}{cc}2-\cos x, & x \leqslant 0 \\ \sqrt{x}+1, & x>0\end{array}\right.$ ，则 （A）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,1)$ 不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． （B）$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，但 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． （C）$x=0$ 是 $f(x)$ 的极值点，且 $(0,1)$ 是曲线 $y=f(x)$ 的拐点． （D）$x=0$ 不是 $f(x)$ 的极值点，$(0,1)$ 也不是曲线 $y=f(x)$ 的拐点．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：$f(0)=2-\cos 0 = 1$。左导数$f'_-(0) = \sin 0 = 0$，右导数$\displaystyle f'_+(0) = \frac{1}{2\sqrt{x}}|_{x=0^+} = +\infty$，导数不存在。在$x=0$左侧，$f(x)=2-\cos x$，$f'(x)=\sin x$，当$x<0$时$f'(x)<0$，函数递减；在$x=0$右侧，$f(x)=\sqrt{x}+1$，$\displaystyle f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}>0$，函数递增。故$x=0$是极小值点。二阶导数：$x<0$时$f''(x)=\cos x$，$f''(0^-)=1>0$，曲线凹；$x>0$时$\displaystyle f''(x)=-\frac{1}{4}x^{-3/2}<0$，曲线凸。故$(0,1)$是拐点。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：计算函数在x=0处的函数值
f(0) = 2 - cos0 = 2 - 1 = 1
公式：f(0)=2-\cos 0
提示：注意分段函数在分界点处的取值
步骤 2/3
目标：判断x=0是否为极值点
左导数：f'_-(0) = sin0 = 0；右导数：f'_+(0) = lim_{x→0^+} 1/(2√x) = +∞，导数不存在。在x<0时，f'(x)=sinx<0，函数递减；在x>0时，f'(x)=1/(2√x)>0，函数递增。因此x=0是极小值点。
公式：f'_-(0)=\sin 0=0, f'_+(0)=\frac{1}{2\sqrt{x}}|_{x=0^+}=+\infty
提示：极值点判断需考虑导数不存在的情况，结合左右导数符号
步骤 3/3
目标：判断(0,1)是否为拐点
x<0时，f''(x)=cosx，f''(0^-)=1>0，曲线凹；x>0时，f''(x)=-1/4 x^{-3/2}<0，曲线凸。左右二阶导数异号，故(0,1)是拐点。
公式：f''(x)=\begin{cases}\cos x, & x<0 \\ -\frac{1}{4}x^{-3/2}, & x>0\end{cases}
提示：拐点判断需检查二阶导数左右符号是否相反
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