kaoyan3basic 高等数学 第160题
📝 题目
### 第160题 160 设 $f(x)$ 具有二阶连续导数，且 $\displaystyle f^{\prime}(1)=0, \lim _{x \rightarrow 1} \frac{f^{\prime \prime}(x)}{(x-1)^{2}}=\frac{1}{2}$ ，则 （A）$f(1)$ 是 $f(x)$ 的极大值． （B）$f(1)$ 是 $f(x)$ 的极小值． （C）$(1, f(1))$ 是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标． （D）$f(1)$ 不是 $f(x)$ 的极值，$(1, f(1))$ 也不是曲线 $f(x)$ 的拐点坐标．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：由$\displaystyle \lim_{x \to 1} \frac{f''(x)}{(x-1)^2} = \frac{1}{2} > 0$，根据极限的保号性，存在$\delta > 0$，当$x \in (1-\delta, 1+\delta)$且$x \neq 1$时，$\displaystyle \frac{f''(x)}{(x-1)^2} > 0$，故$f''(x) > 0$。因此$f'(x)$在$x=1$附近单调增。又$f'(1)=0$，所以当$x<1$时$f'(x)<0$，当$x>1$时$f'(x)>0$，故$f(1)$是极小值。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用极限条件判断f''(x)的符号
已知极限 lim_{x→1} f''(x)/(x-1)^2 = 1/2 > 0，由极限的保号性，存在δ>0，当x∈(1-δ,1+δ)且x≠1时，f''(x)/(x-1)^2 > 0，因此f''(x) > 0。
公式：lim_{x→1} f''(x)/(x-1)^2 = 1/2
提示：注意分母(x-1)^2非负，故分子f''(x)与分式同号。
步骤 2/4
目标：分析f'(x)的单调性
由于f''(x) > 0，所以f'(x)在x=1附近单调递增。
提示：二阶导数大于0，一阶导数单调增。
步骤 3/4
目标：利用f'(1)=0判断f'(x)的符号
因为f'(1)=0，且f'(x)单调递增，所以当x<1时，f'(x) < f'(1)=0；当x>1时，f'(x) > f'(1)=0。
公式：f'(1)=0
提示：单调递增函数在零点左侧为负，右侧为正。
步骤 4/4
目标：判断极值
由导数符号变化：左负右正，可知f(1)是极小值。
提示：一阶导数由负变正，函数取得极小值。
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