kaoyan3basic 高等数学 第159题
📝 题目
### 第159题 159 设 $f(x)$ 对一切 $x \in(-\infty,+\infty)$ 满足方程 $(x-1) f^{\prime \prime}(x)+2(x-1)\left[f^{\prime}(x)\right]^{3}= 1-\mathrm{e}^{1-x}$ ，且 $f(x)$ 在 $x=a(a \neq 1)$ 处 $f^{\prime}(a)=0$ ，则 $x=a$ （A）是 $f(x)$ 的极小值点． （B）是 $f(x)$ 的极大值点． （C）不是 $f(x)$ 的极值点． （D）是 $f(x)$ 的拐点．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：将$x=a$代入方程，由$f'(a)=0$得$(a-1) f''(a) = 1 - e^{1-a}$。由于$a \neq 1$，故$\displaystyle f''(a) = \frac{1 - e^{1-a}}{a-1}$。考虑函数$h(x)=1-e^{1-x}$，则$h'(x)=e^{1-x} > 0$，$h(x)$单调增。当$a>1$时，$a-1>0$，$1-e^{1-a} > 0$，故$f''(a) > 0$；当$a<1$时，$a-1<0$，$1-e^{1-a} < 0$，故$f''(a) > 0$。因此$f''(a) > 0$，$x=a$是极小值点。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将x=a代入方程，利用f'(a)=0化简
将x=a代入方程(x-1)f''(x)+2(x-1)[f'(x)]^3=1-e^{1-x}，由f'(a)=0得(a-1)f''(a)=1-e^{1-a}。
公式：(a-1)f''(a)=1-e^{1-a}
提示：注意代入后第二项为零。
步骤 2/4
目标：解出f''(a)的表达式
由于a≠1，两边除以(a-1)得f''(a)=(1-e^{1-a})/(a-1)。
公式：f''(a)=\frac{1-e^{1-a}}{a-1}
提示：分母不为零。
步骤 3/4
目标：分析f''(a)的符号
考虑函数h(x)=1-e^{1-x}，求导得h'(x)=e^{1-x}>0，故h(x)单调递增。当a>1时，a-1>0且1-e^{1-a}>0，所以f''(a)>0；当a<1时，a-1<0且1-e^{1-a}<0，所以f''(a)>0。因此f''(a)>0。
公式：h'(x)=e^{1-x}>0
提示：利用单调性判断分子分母同号。
步骤 4/4
目标：根据二阶导数符号判断极值
由于f''(a)>0，根据极值第二充分条件，x=a是f(x)的极小值点。
提示：二阶导数大于0为极小值点。
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