kaoyan3basic 高等数学 第158题
📝 题目
### 第158题 158 设 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 可导，且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)>0$ ，则 $\exists \delta>0$ ，使得 （A）$f(x)$ 在 $\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right)$ 单调上升． （B）$f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}-\delta, x_{0}+\delta\right), x \neq x_{0}$ ． （C）$f(x)>f\left(x_{0}\right), x \in\left(x_{0}, x_{0}+\delta\right)$ ． （D）$f(x)
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：由导数定义，$\displaystyle f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} > 0$。由极限的保号性，存在$\delta > 0$，使得当$x \in (x_0, x_0+\delta)$时，$\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} > 0$，由于$x-x_0 > 0$，故$f(x) > f(x_0)$；当$x \in (x_0-\delta, x_0)$时，$\displaystyle \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} > 0$，由于$x-x_0 < 0$，故$f(x) < f(x_0)$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：利用导数定义和极限保号性分析选项
由导数定义，$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} > 0$。根据极限的保号性，存在$\delta > 0$，使得当$x \in (x_0-\delta, x_0+\delta)$且$x \neq x_0$时，$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} > 0$。
公式：$f'(x_0) = \lim_{x \to x_0} \frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}$
提示：注意极限保号性：若极限大于0，则存在邻域内函数值（此处为差商）也大于0。
步骤 2/3
目标：分区间讨论差商的符号
当$x \in (x_0, x_0+\delta)$时，$x-x_0 > 0$，由$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} > 0$得$f(x)-f(x_0) > 0$，即$f(x) > f(x_0)$。当$x \in (x_0-\delta, x_0)$时，$x-x_0 < 0$，由$\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0} > 0$得$f(x)-f(x_0) < 0$，即$f(x) < f(x_0)$。
提示：注意分母符号影响不等号方向。
步骤 3/3
目标：判断各选项正确性
选项A：单调性需要整个区间内导数符号不变，但此处仅知$f'(x_0)>0$，不能保证邻域内导数恒正，故A错误。选项B：在$x_0$左侧$f(x)f(x_0)$，正确。选项D：与C相反，错误。
提示：注意导数大于0仅保证局部递增，但未必单调。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。