kaoyan3basic 高等数学 第157题
📝 题目
### 第157题 157 设 $f(0)=0, f^{\prime}(x)$ 在 $[0,+\infty)$ 为严格单调增函数，则函数 $\displaystyle g(x)=\frac{1-f(x)}{x}$ 在 $(0$ ， $+\infty$ ） （A）有界函数． （B）有极值． （C）单调增函数． （D）单调减函数．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：计算$g(x)$的导数：$\displaystyle g'(x) = \frac{-f'(x) x - (1-f(x))}{x^2} = \frac{-x f'(x) - 1 + f(x)}{x^2}$。由拉格朗日中值定理，存在$\xi \in (0, x)$使得$f(x) - f(0) = f'(\xi) x$，即$f(x) = f'(\xi) x$。代入得$\displaystyle g'(x) = \frac{-x f'(x) - 1 + f'(\xi) x}{x^2} = \frac{x(f'(\xi) - f'(x)) - 1}{x^2}$。由于$f'(x)$严格单调增且$\xi < x$，故$f'(\xi) < f'(x)$，所以$f'(\xi) - f'(x) < 0$，从而$x(f'(\xi) - f'(x)) < 0$，因此$g'(x) < 0$，$g(x)$单调减。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求g(x)的导数表达式
对g(x) = (1-f(x))/x求导，使用商法则：g'(x) = [ -f'(x) * x - (1-f(x)) * 1 ] / x^2 = [ -x f'(x) - 1 + f(x) ] / x^2。
公式：g'(x) = \frac{-x f'(x) - 1 + f(x)}{x^2}
提示：注意分母x^2为正，只需判断分子符号。
步骤 2/4
目标：利用拉格朗日中值定理替换f(x)
由f(0)=0，对任意x>0，存在ξ∈(0,x)使得f(x)-f(0)=f'(ξ)(x-0)，即f(x)=f'(ξ)x。代入g'(x)分子：-x f'(x) - 1 + f'(ξ)x = x(f'(ξ)-f'(x)) - 1。
公式：f(x) = f'(\xi) x, \quad \xi \in (0,x)
提示：中值定理将f(x)与导数联系起来。
步骤 3/4
目标：判断g'(x)的符号
由于f'(x)严格单调增，且ξ
公式：g'(x) = \frac{x(f'(\xi)-f'(x)) - 1}{x^2} < 0
提示：严格单调增保证f'(ξ) < f'(x)。
步骤 4/4
目标：得出结论
因为g'(x) < 0对所有x>0成立，所以g(x)在(0,+∞)上单调递减。
提示：导数小于0则函数单调减。
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