kaoyan3basic 高等数学 第156题

教材习题

📝 题目

### 第156题 156 设常数 $a>1, y=x$ 为曲线 $y=a^{x}$ 的切线，则 （A）$a=\mathrm{e}$ ，切点为 $(\mathrm{e}, \mathrm{e})$ ． （B）$\displaystyle a=\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}$ ，切点为 $(\mathrm{e}, \mathrm{e})$ 。 （C）$a=\mathrm{e}$ ，切点为 $\displaystyle \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}, \mathrm{e}^{\frac{1}{\mathrm{e}}}\right)$ 。 （D）$\displaystyle a=\mathrm{e}^{\frac{1}{e}}$ ，切点为 $\displaystyle \left(\mathrm{e}^{\frac{1}{e}}, \mathrm{e}^{\frac{1}{e}}\right)$ 。

💡 答案解析

**答案**：D **解析**：设切点为$(x_0, a^{x_0})$，切线斜率为$k = a^{x_0} \ln a$。切线方程为$y - a^{x_0} = a^{x_0} \ln a (x - x_0)$。由于$y=x$是切线，故斜率$k=1$，且切点在$y=x$上，即$a^{x_0}=x_0$。代入得$x_0 \ln a = 1$，即$\displaystyle \ln a = \frac{1}{x_0}$。又由$a^{x_0}=x_0$，两边取对数得$x_0 \ln a = \ln x_0$，即$1 = \ln x_0$，解得$x_0 = e$。代入得$\displaystyle \ln a = \frac{1}{e}$，即$\displaystyle a = e^{\frac{1}{e}}$。切点为$(e, e)$。 **难度**：★★☆☆☆

📋 详细解题步骤

步骤 1/5
目标：设切点坐标
设切点为 (x0, a^{x0})，由于切线为 y=x，切点也在切线上，所以 a^{x0}=x0。
步骤 2/5
目标：求切线斜率
对 y=a^x 求导得 y'=a^x ln a，所以切线斜率 k = a^{x0} ln a。因为切线 y=x 的斜率为1，所以 a^{x0} ln a = 1。
公式：k = a^{x0} ln a = 1
步骤 3/5
目标：利用切点条件消元
由 a^{x0}=x0 代入斜率方程得 x0 ln a = 1，即 ln a = 1/x0。
公式：x0 ln a = 1
步骤 4/5
目标：取对数求解 x0
对 a^{x0}=x0 两边取自然对数得 x0 ln a = ln x0。代入 x0 ln a = 1 得 1 = ln x0，所以 x0 = e。
公式：ln x0 = 1 ⇒ x0 = e
步骤 5/5
目标：求解 a
由 ln a = 1/x0 = 1/e，得 a = e^{1/e}。切点为 (e, e)。
公式：a = e^{1/e}

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