kaoyan3basic 高等数学 第155题
📝 题目
### 第155题 155 设 $f(x)$ 为连续函数，$g(x)=\int_{-x}^{0} t f(x+t) \mathrm{d} t$ ，则 $g^{\prime}(x)=$ （A）$-\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ． （B） $\int_{0}^{x} f(u) \mathrm{d} u$ ． （C）$-\int_{0}^{-x} f(u) \mathrm{d} u$ ． （D） $\int_{0}^{-x} f(u) \mathrm{d} u$ ．
💡 答案解析
**答案**：A **解析**：步骤1：令$u=x+t$，则$t=u-x$，$dt=du$，当$t=-x$时$u=0$，当$t=0$时$u=x$，故$g(x)=\int_0^x (u-x)f(u)du$。 步骤2：$g(x)=\int_0^x u f(u)du - x\int_0^x f(u)du$。 步骤3：求导：$g'(x)=x f(x) - \int_0^x f(u)du - x f(x) = -\int_0^x f(u)du$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：变量代换化简积分
令 u = x + t，则 t = u - x，dt = du。当 t = -x 时 u = 0；当 t = 0 时 u = x。代入得 g(x) = ∫_0^x (u - x) f(u) du。
公式：g(x) = ∫_0^x (u - x) f(u) du
提示：注意积分限的变化，代换后积分变量为 u。
步骤 2/3
目标：拆分积分表达式
将积分拆分为两项：g(x) = ∫_0^x u f(u) du - x ∫_0^x f(u) du。
公式：g(x) = ∫_0^x u f(u) du - x ∫_0^x f(u) du
提示：将常数因子 x 提到积分号外。
步骤 3/3
目标：对 x 求导
利用变上限积分求导公式和乘积求导法则：g'(x) = x f(x) - [∫_0^x f(u) du + x f(x)] = -∫_0^x f(u) du。
公式：g'(x) = -∫_0^x f(u) du
提示：注意第二项是乘积求导，前导后不导加后导前不导。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。