kaoyan3basic 高等数学 第154题
📝 题目
### 第154题 154 设 $\lim _{x \rightarrow x_{0}^{+}} f^{\prime}(x)=\lim _{x \rightarrow x_{0}^{-}} f^{\prime}(x)=a$ ，则 （A）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必可导且 $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=a$ ． （B）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必连续，但未必可导． （C）$f(x)$ 在 $x=x_{0}$ 处必有极限但未必连续． （D）以上结论都不对．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：步骤1：仅知左右导数极限相等，不能保证$f(x)$在$x_0$处连续，例如$f(x)=\begin{cases} 0, & x\neq0 \\ 1, & x=0 \end{cases}$，则$\lim_{x\to0^+}f'(x)=\lim_{x\to0^-}f'(x)=0$，但$f(x)$在$x=0$不连续，故A、B、C均错。 步骤2：因此以上结论都不对。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析条件：左右导数极限相等
已知 $\lim_{x \to x_0^+} f'(x) = \lim_{x \to x_0^-} f'(x) = a$，但未给出 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的函数值或连续性。
提示：注意导数极限存在不能推出函数在该点可导，因为可导要求函数在该点连续。
步骤 2/3
目标：构造反例说明结论不成立
取 $f(x) = \begin{cases} 0, & x \neq 0 \\ 1, & x = 0 \end{cases}$，则 $f'(x) = 0$ 对于 $x \neq 0$，故 $\lim_{x \to 0^+} f'(x) = \lim_{x \to 0^-} f'(x) = 0$。但 $f(x)$ 在 $x=0$ 处不连续，因此不可导，且极限为 $0$ 不等于函数值 $1$。
提示：反例中函数在 $x=0$ 处有可去间断点，但导数极限存在。
步骤 3/3
目标：判断选项正误
选项A：$f(x)$ 在 $x_0$ 处必可导且 $f'(x_0)=a$，错误，因为反例中不可导。选项B：$f(x)$ 在 $x_0$ 处必连续，但未必可导，错误，因为反例中不连续。选项C：$f(x)$ 在 $x_0$ 处必有极限但未必连续，错误，因为反例中极限为0但函数值为1，极限存在但函数不连续。故A、B、C均错，选D。
提示：注意：导数极限定理要求函数在 $x_0$ 处连续才能推出可导。
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