kaoyan3basic 高等数学 第153题
📝 题目
### 第153题 153 设 $f(x)$ 在点 $x=a$ 处可导，则函数 $|f(x)|$ 在点 $x=a$ 处不可导的充分必要条件是 （A）$f(a)=0$ ，且 $f^{\prime}(a)=0$ ． （B）$f(a)=0$ ，且 $f^{\prime}(a) \neq 0$ ． （C）$f(a)>0$ ，且 $f^{\prime}(a)>0$ ． （D）$f(a)<0$ ，且 $f^{\prime}(a)<0$ ．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：若$f(a)>0$，则$|f(x)|=f(x)$在$x=a$附近，可导；若$f(a)<0$，则$|f(x)|=-f(x)$可导，故排除C、D。 步骤2：若$f(a)=0$，则$|f(x)|$在$x=a$处可导当且仅当$f'(a)=0$（因为此时左右导数分别为$\pm f'(a)$，相等需$f'(a)=0$）。 步骤3：因此不可导的充要条件是$f(a)=0$且$f'(a)\neq0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：分析f(a)>0或f(a)<0的情况
若f(a)>0，由连续性，存在邻域使得f(x)>0，则|f(x)|=f(x)，可导；若f(a)<0，则|f(x)|=-f(x)，也可导。因此排除C、D选项。
提示：利用局部保号性判断绝对值函数的表达式。
步骤 2/3
目标：分析f(a)=0的情况
当f(a)=0时，|f(x)|在x=a处的左导数为-|f'(a)|，右导数为|f'(a)|，因此可导当且仅当f'(a)=0。
公式：左导数 = -f'(a)，右导数 = f'(a)
提示：利用导数定义计算左右导数。
步骤 3/3
目标：得出不可导的充要条件
由步骤2，不可导当且仅当f(a)=0且f'(a)≠0，对应选项B。
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