kaoyan3basic 高等数学 第152题
📝 题目
### 第152题 152 设 $f(x)=x^{2} \mathrm{e}^{3 x}$ ，则 $f^{(n)}(0)=$ （A）$\displaystyle \frac{3^{n}}{n!}$ ． （B）$n^{2} 3^{n-1}$ ． （C） $3^{n-2} n(n-1)$ ． （D） $3^{n-2}(n-1)(n-2)$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：利用莱布尼茨公式，$f(x)=x^2\mathrm{e}^{3x}$，$f^{(n)}(x)=\sum_{k=0}^n C_n^k (x^2)^{(k)} (\mathrm{e}^{3x})^{(n-k)}$。 步骤2：$(x^2)^{(k)}=0$当$k>2$，故只需$k=0,1,2$。 步骤3：$k=0$：$C_n^0 x^2 \cdot 3^n \mathrm{e}^{3x}$；$k=1$：$C_n^1 \cdot 2x \cdot 3^{n-1}\mathrm{e}^{3x}$；$k=2$：$C_n^2 \cdot 2 \cdot 3^{n-2}\mathrm{e}^{3x}$。 步骤4：代入$x=0$，$k=0$项为0，$k=1$项为0，$k=2$项为$\displaystyle C_n^2 \cdot 2 \cdot 3^{n-2}=\frac{n(n-1)}{2}\cdot2\cdot3^{n-2}=n(n-1)3^{n-2}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用莱布尼茨公式展开f(x)的n阶导数
f(x)=x^2 e^{3x}，则f^{(n)}(x)=∑_{k=0}^n C_n^k (x^2)^{(k)} (e^{3x})^{(n-k)}
公式：莱布尼茨公式：(uv)^{(n)}=∑_{k=0}^n C_n^k u^{(k)} v^{(n-k)}
提示：注意u=x^2，v=e^{3x}
步骤 2/4
目标：确定非零项的范围
由于(x^2)^{(k)}=0当k>2，因此只需考虑k=0,1,2
提示：高阶导数中，多项式部分超过阶数后为零
步骤 3/4
目标：计算各项导数
k=0: C_n^0 x^2 * 3^n e^{3x}; k=1: C_n^1 * 2x * 3^{n-1} e^{3x}; k=2: C_n^2 * 2 * 3^{n-2} e^{3x}
公式：(e^{3x})^{(m)}=3^m e^{3x}
提示：注意常数因子
步骤 4/4
目标：代入x=0求f^{(n)}(0)
x=0时，k=0项为0，k=1项为0，k=2项为C_n^2 * 2 * 3^{n-2} = n(n-1)3^{n-2}
公式：C_n^2 = n(n-1)/2
提示：代入后只有k=2项非零
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