kaoyan3basic 高等数学 第151题
📝 题目
### 第151题 151 设函数 $g(x)$ 在 $x=a$ 点处连续，$f(x)=|x-a| g(x)$ 在 $x=a$ 点处可导，则 $g(a)$满足 （A）$g(a)=a$ ． （B）$g(a) \neq a$ ． （C）$g(a)=0$ ． （D）$g(a) \neq 0$ ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：$f(x)=|x-a|g(x)$在$x=a$处可导，则$f(a)=0$。 步骤2：左导数：$\displaystyle f'_-(a)=\lim_{x\to a^-}\frac{|x-a|g(x)-0}{x-a}=\lim_{x\to a^-}\frac{-(x-a)g(x)}{x-a}=-g(a)$。 步骤3：右导数：$\displaystyle f'_+(a)=\lim_{x\to a^+}\frac{|x-a|g(x)-0}{x-a}=\lim_{x\to a^+}\frac{(x-a)g(x)}{x-a}=g(a)$。 步骤4：可导要求左右导数相等，即$-g(a)=g(a)$，得$g(a)=0$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：利用可导性条件，推导g(a)的值
由f(x)=|x-a|g(x)在x=a处可导，首先计算f(a)=0。然后分别求左导数和右导数。左导数：f'_-(a)=lim_{x→a^-} (|x-a|g(x)-0)/(x-a)=lim_{x→a^-} (-(x-a)g(x))/(x-a)=-g(a)。右导数：f'_+(a)=lim_{x→a^+} (|x-a|g(x)-0)/(x-a)=lim_{x→a^+} ((x-a)g(x))/(x-a)=g(a)。可导要求左右导数相等，即-g(a)=g(a)，解得g(a)=0。
公式：f'_-(a) = -g(a), f'_+(a) = g(a), -g(a)=g(a) ⇒ g(a)=0
提示：注意绝对值函数在x=a处左右导数的符号差异。
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。