kaoyan3basic 高等数学 第150题
📝 题目
### 第150题 150 设 $f(x)$ 是以 3 为周期的可导函数且 $f^{\prime}(4)=1$ ，则 $\displaystyle \lim _{h \rightarrow 0} \frac{f(1+h)-f(1-3 \tan h)}{h}$ 等于 （A） 5 ． （B） 3 ． （C） 4 ． （D） 7 ．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：步骤1：由周期性，$f(1+h)=f(1+h-3)=f(h-2)$，$f(1-3\tan h)=f(1-3\tan h-3)=f(-2-3\tan h)$。 步骤2：原极限$\displaystyle \lim_{h\to0}\frac{f(h-2)-f(-2-3\tan h)}{h}$。 步骤3：由导数定义，$f'(4)=1$，且$f$以3为周期，故$f'(1)=f'(4)=1$。 步骤4：令$u=h-2$，$v=-2-3\tan h$，则$u\to-2$，$v\to-2$，且$u-v=h+3\tan h \sim 4h$。 步骤5：原极限$\displaystyle =\lim_{h\to0}\frac{f(u)-f(v)}{u-v}\cdot\frac{u-v}{h}=f'(-2)\cdot4$。 步骤6：由周期性，$f'(-2)=f'(1)=1$，故极限为4。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：利用周期性化简函数值
由周期为3，有 f(1+h)=f(1+h-3)=f(h-2)，f(1-3tan h)=f(1-3tan h-3)=f(-2-3tan h)。
公式：f(x+3)=f(x)
提示：注意周期函数的平移性质，将自变量调整到同一区间。
步骤 2/4
目标：将极限转化为导数定义形式
原极限 = lim_{h→0} [f(h-2)-f(-2-3tan h)]/h。令 u=h-2，v=-2-3tan h，则 u→-2，v→-2，且 u-v = h+3tan h ~ 4h。
公式：u-v = h+3tan h
提示：利用等价无穷小 tan h ~ h。
步骤 3/4
目标：应用导数定义
原极限 = lim_{h→0} [f(u)-f(v)]/(u-v) * (u-v)/h = f'(-2) * 4。
公式：lim_{x→x0} [f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)
提示：注意 u 和 v 都趋于 -2，且 u≠v。
步骤 4/4
目标：利用周期性求导数值
由周期性，f'(-2)=f'(1)。又已知 f'(4)=1，且周期为3，故 f'(1)=f'(4)=1。因此极限为 4。
公式：f'(x+3)=f'(x)
提示：周期函数的导数也是周期函数。
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