kaoyan3basic 高等数学 第149题
📝 题目
### 第149题 149 设 $f(0)=0$ ，则 $\displaystyle \lim _{x \rightarrow 0} \frac{f\left(x^{2}\right)}{x^{2}}$ 存在是 $f(x)$ 在 $x=0$ 可导的 （A）充分非必要条件． （B）必要非充分条件． （C）充分必要条件． （D）既非充分又非必要条件．
💡 答案解析
**答案**：B **解析**：步骤1：若$f(x)$在$x=0$可导，则$f(0)=0$，且$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=f'(0)$存在，则$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x^2)}{x^2}=f'(0)$存在，故必要性成立。 步骤2：反之，若$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x^2)}{x^2}$存在，令$t=x^2$，则$\displaystyle \lim_{t\to0^+}\frac{f(t)}{t}$存在，但只能得到右导数存在，不能得到左导数，例如$f(x)=\begin{cases} x, & x\geq0 \\ -x, & x<0 \end{cases}$，则$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{f(x^2)}{x^2}=1$存在，但$f(x)$在$x=0$不可导（左导数-1，右导数1），故充分性不成立。 步骤3：因此为必要非充分条件。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：证明必要性：若f(x)在x=0可导，则极限存在
由f(0)=0及f(x)在x=0可导，得f'(0)=lim_{x→0} f(x)/x存在。令t=x^2，则x→0时t→0，且lim_{x→0} f(x^2)/x^2 = lim_{t→0} f(t)/t = f'(0)存在，故必要性成立。
公式：lim_{x→0} f(x^2)/x^2 = lim_{t→0} f(t)/t = f'(0)
提示：注意x^2非负，但极限存在性不受影响。
步骤 2/3
目标：举反例说明充分性不成立
考虑函数f(x)=x (x≥0), f(x)=-x (x<0)。则f(0)=0，且lim_{x→0} f(x^2)/x^2 = lim_{x→0} x^2/x^2 =1存在。但f(x)在x=0处左导数为-1，右导数为1，不可导，故充分性不成立。
公式：f'(0-) = -1, f'(0+) = 1
提示：反例需满足f(0)=0且极限存在但导数不存在。
步骤 3/3
目标：得出结论
必要性成立，充分性不成立，因此是必要非充分条件。
提示：注意区分左导数和右导数。
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