kaoyan3basic 高等数学 第643题
📝 题目
### 第643题 643 设正项级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_{n}$ 收敛，$b_{n}=(-1)^{n} \ln \left(1+a_{2 n}\right)$ ，则 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ （A）条件收敛． （B）绝对收敛． （C）发散． （D）不能确定敛散性． 644设 $a>0$ 为常数，级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \cdot \frac{a^{n}}{1+a^{n}}$ 条件收敛，则 $a$ 的取值范围是
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：$\sum a_n$与$\sum b_n$均发散，则$\sum(|a_n|+|b_n|)$为正项级数，且$|a_n|+|b_n|\geq|a_n|$，由$\sum|a_n|$发散（因为$\sum a_n$发散，但$\sum a_n$发散不一定$\sum|a_n|$发散，例如$a_n=(-1)^n$，$\sum a_n$发散但$\sum|a_n|$发散。实际上，若$\sum a_n$发散，则$\sum|a_n|$可能收敛吗？不可能，因为若$\sum|a_n|$收敛则$\sum a_n$绝对收敛，矛盾。故$\sum|a_n|$发散。同理$\sum|b_n|$发散，所以$\sum(|a_n|+|b_n|)$发散。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：分析级数∑b_n的敛散性
已知正项级数∑a_n收敛，b_n=(-1)^n ln(1+a_{2n})。考虑∑|b_n| = ∑ ln(1+a_{2n})。由于a_{2n}是正项级数∑a_n的子项，且∑a_n收敛，故a_{2n}→0。利用等价无穷小：ln(1+x)~x (x→0)，所以ln(1+a_{2n})~a_{2n}。而∑a_{2n}是正项级数∑a_n的子级数，由∑a_n收敛可知∑a_{2n}收敛。因此∑ ln(1+a_{2n})收敛，即∑|b_n|收敛，故∑b_n绝对收敛。
公式：ln(1+x)~x (x→0)
提示：注意正项级数收敛时，其子级数也收敛。
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