kaoyan3basic 高等数学 第647题
📝 题目
### 第647题 647 在如下四个级数 （1）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1} \frac{\ln n}{n}$ ． （2）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\left(\sin n^{2}\right) \ln ^{3} n}{\sqrt[3]{n^{4}+1}}$ ． （3）$\displaystyle \sum_{n=2}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{\sqrt{n}-(-1)^{n}}$ ． （4）$\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{(-1)^{n}}{\sqrt{n}}+\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\right)$ ． 中，条件收敛的级数是 （A）（1），（2）． （B）（2），（3）． （C）（3），（4）． （D）（1），（4）．
💡 答案解析
**答案**：D **解析**：（1）反例：$\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n}$，$\sum a_n$条件收敛，但$\displaystyle \sum a_n^2=\sum\frac{1}{n^2}$收敛，故（1）错误。（2）反例：$\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n}$，$\displaystyle b_n=\frac{(-1)^n}{n}+\frac{1}{n\ln n}$，则$a_n\sim b_n$，$\sum a_n$收敛，但$\sum b_n$发散（因为$\displaystyle \sum\frac{1}{n\ln n}$发散）。（3）反例：$\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n\ln n}$，$\sum a_n$收敛，但$\displaystyle na_n=\frac{(-1)^n}{\ln n}$不是$o(1)$，故（3）错误。（4）正确，证明见前。 **难度**：★★★☆☆