kaoyan3basic 高等数学 第642题
📝 题目
### 第642题 642 在命题 （1）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}^{2}$ 收敛。 （2）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛且 $n \rightarrow \infty$ 时 $a_{n}$ 与 $b_{n}$ 是等价无穷小，则 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 收敛。 （3）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，则 $\displaystyle a_{n}=o\left(\frac{1}{n}\right)(n \rightarrow \infty)$ 。 （4）设 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n}$ 收敛，又 $\sum_{n=1}^{\infty} b_{n}$ 绝对收敛，则 $\sum_{n=1}^{\infty} a_{n} b_{n}$ 绝对收敛。 中正确的是 （A）（1）． （B）（2）． （C）（3）． （D）（4）．
💡 答案解析
**答案**：C **解析**：（1）错误，反例：$\displaystyle a_n=(-1)^n\frac{1}{\sqrt{n}}$，$\sum a_n$条件收敛，但$\displaystyle \sum a_n^2=\sum\frac{1}{n}$发散。（2）错误，反例：$\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$，$\displaystyle b_n=\frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}+\frac{1}{n}$，$\sum a_n$收敛，$a_n\sim b_n$，但$\sum b_n$发散。（3）错误，反例：$\displaystyle a_n=\frac{(-1)^n}{n\ln n}$，$\sum a_n$收敛，但$\displaystyle na_n=\frac{(-1)^n}{\ln n}$不是无穷小。（4）正确，由$\sum|b_n|$收敛知$|b_n|$有界，故$|a_nb_n|\leq M|a_n|$，但$\sum a_n$不一定绝对收敛，需进一步分析：实际上，由$\sum|b_n|$收敛得$b_n\to0$，但$\displaystyle |a_nb_n|\leq\frac{1}{2}(a_n^2+b_n^2)$，不能直接推出绝对收敛。更严谨：由$\sum a_n$收敛，$\sum b_n$绝对收敛，则$\sum a_nb_n$绝对收敛（因为$\displaystyle |a_nb_n|\leq\frac{1}{2}(a_n^2+b_n^2)$，但$a_n^2$不一定收敛）。实际上，由柯西不等式，$(\sum|a_nb_n|)^2\leq(\sum a_n^2)(\sum b_n^2)$，但$\sum a_n^2$不一定收敛。故（4）不一定成立。但常见结论：若$\sum a_n$收敛，$\sum b_n$绝对收敛，则$\sum a_nb_n$绝对收敛（因为$|a_nb_n|\leq M|b_n|$，其中$M$为$|a_n|$的上界，但$a_n$收敛不一定有界）。实际上，收敛级数通项趋于0，故$|a_n|$有界，所以$|a_nb_n|\leq C|b_n|$，由比较判别法知$\sum a_nb_n$绝对收敛。故（4）正确。 **难度**：★★★★☆