kaoyan3basic 高等数学 第35题
📝 题目
### 第35题 35 设 $y=y(x)$ 由方程 $y=\sin (x+y)$ 确定，则 $\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}=$ $\_\_\_\_$ ． 36 曲线 $y=\ln x$ 上与直线 $x+y=2$ 垂直的切线方程为 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \frac{\mathrm{d}^{2}y}{\mathrm{d}x^{2}}=-\frac{\sin(x+y)}{[1-\cos(x+y)]^{3}}$ **解析**：步骤1：方程$y=\sin(x+y)$两边对$x$求导：$y^{\prime}=\cos(x+y)(1+y^{\prime})$，解得$\displaystyle y^{\prime}=\frac{\cos(x+y)}{1-\cos(x+y)}$。 步骤2：再求导：$\displaystyle y^{\prime\prime}=-\sin(x+y)(1+y^{\prime})\cdot\frac{1}{1-\cos(x+y)}+\cos(x+y)\cdot\frac{\sin(x+y)(1+y^{\prime})}{[1-\cos(x+y)]^{2}}$，化简得$\displaystyle y^{\prime\prime}=-\frac{\sin(x+y)}{[1-\cos(x+y)]^{3}}$。 **难度**：★★★☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：求一阶导数 y'
方程 y = sin(x+y) 两边对 x 求导，注意 y 是 x 的函数。得到 y' = cos(x+y) * (1 + y')。
公式：y' = cos(x+y)(1+y')
提示：使用隐函数求导法则，对 sin(x+y) 求导时要用链式法则。
步骤 2/4
目标：解出 y'
将上一步方程展开：y' = cos(x+y) + cos(x+y) y'，移项得 y' - cos(x+y) y' = cos(x+y)，即 y'(1 - cos(x+y)) = cos(x+y)，所以 y' = cos(x+y) / (1 - cos(x+y))。
公式：y' = cos(x+y) / (1 - cos(x+y))
提示：注意分母不为零。
步骤 3/4
目标：求二阶导数 y''
对 y' 的表达式两边对 x 求导，注意 y' 和 y 都是 x 的函数。使用商法则：y'' = [ -sin(x+y)(1+y') * (1 - cos(x+y)) - cos(x+y) * sin(x+y)(1+y') ] / (1 - cos(x+y))^2。化简分子：-sin(x+y)(1+y') [1 - cos(x+y) + cos(x+y)] = -sin(x+y)(1+y')。所以 y'' = -sin(x+y)(1+y') / (1 - cos(x+y))^2。
公式：y'' = -sin(x+y)(1+y') / (1 - cos(x+y))^2
提示：注意求导时 (1 - cos(x+y)) 的导数是 sin(x+y)(1+y')。
步骤 4/4
目标：代入 y' 化简
将 y' = cos(x+y)/(1 - cos(x+y)) 代入上式：1+y' = 1 + cos(x+y)/(1 - cos(x+y)) = (1 - cos(x+y) + cos(x+y))/(1 - cos(x+y)) = 1/(1 - cos(x+y))。所以 y'' = -sin(x+y) * [1/(1 - cos(x+y))] / (1 - cos(x+y))^2 = -sin(x+y) / (1 - cos(x+y))^3。
公式：y'' = -sin(x+y) / (1 - cos(x+y))^3
提示：化简时注意分母的指数。
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