kaoyan3basic 高等数学 第37题
📝 题目
### 第37题 37 设 $f(x)=\int_{0}^{x} \ln (1+\sin t) \mathrm{d} t$ ，则 $f^{\prime \prime}(x)=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$x-y+1=0$ **解析**：步骤1：曲线$y=\ln x$，切线斜率$\displaystyle k=y^{\prime}=\frac{1}{x}$。直线$x+y=2$斜率为$-1$，垂直则切线斜率$k=1$。 步骤2：由$\displaystyle \frac{1}{x}=1$得$x=1$，切点$(1,0)$，切线方程$y-0=1\cdot(x-1)$，即$x-y-1=0$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：求一阶导数 f'(x)
由微积分基本定理，f(x) = ∫₀ˣ ln(1+sin t) dt，则 f'(x) = ln(1+sin x)。
公式：f'(x) = ln(1+sin x)
提示：注意积分上限是x，下限是常数，直接代入被积函数。
步骤 2/2
目标：求二阶导数 f''(x)
对 f'(x) = ln(1+sin x) 求导，使用链式法则：f''(x) = (1/(1+sin x)) * cos x = cos x / (1+sin x)。
公式：f''(x) = cos x / (1+sin x)
提示：注意 ln(u) 的导数为 u'/u，其中 u=1+sin x，u'=cos x。
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