kaoyan3basic 高等数学 第38题
📝 题目
### 第38题 38 设函数 $y=y(x)$ 为由方程 $x^{2}+\int_{0}^{y}\left(2+\sin t^{2}\right) \mathrm{d} t=1$ 确定的隐函数，则 $\mathrm{d} y=$ $\_\_\_\_$。
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \cos x\ln(1+\sin x)-\frac{\sin x}{1+\sin x}$ **解析**：步骤1：$f(x)=\int_{0}^{x}\ln(1+\sin t)\mathrm{d}t$，则$f^{\prime}(x)=\ln(1+\sin x)$。 步骤2：$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac{\cos x}{1+\sin x}$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/1
目标：对方程两边求导，得到关于dy/dx的表达式
方程两边对x求导：2x + (2+sin(y^2)) * dy/dx = 0，解得dy/dx = -2x / (2+sin(y^2))，因此dy = -2x / (2+sin(y^2)) dx
公式：d/dx ∫_0^{y(x)} f(t) dt = f(y(x)) * y'(x)
提示：注意积分上限是y(x)，求导时需使用链式法则
📷 拍照上传批改
拍照上传批改功能已预留入口，后续接入图片上传、OCR识别与AI批改。