kaoyan3basic 高等数学 第39题
📝 题目
### 第39题 39 设 $y=y(x)$ 在 $(-1,1)$ 二阶可导，满足方程：$\displaystyle \left(1-x^{2}\right) \frac{\mathrm{d}^{2} y}{\mathrm{~d} x^{2}}-x \frac{\mathrm{~d} y}{\mathrm{~d} x}+a^{2} y=0$ ，作变量替换 $x=\sin t$ 后，$y$ 作为 $t$ 的函数满足的方程是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle \mathrm{d}y=-\frac{2x}{2+\sin y^{2}}\mathrm{d}x$ **解析**：步骤1：方程$x^{2}+\int_{0}^{y}(2+\sin t^{2})\mathrm{d}t=1$两边对$x$求导：$2x+(2+\sin y^{2})\cdot y^{\prime}=0$，解得$\displaystyle y^{\prime}=-\frac{2x}{2+\sin y^{2}}$。 步骤2：$\displaystyle \mathrm{d}y=y^{\prime}\mathrm{d}x=-\frac{2x}{2+\sin y^{2}}\mathrm{d}x$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/2
目标：进行变量替换 x = sin t，并计算一阶和二阶导数
令 x = sin t，则 t = arcsin x，且 x ∈ (-1,1) 对应 t ∈ (-π/2, π/2)。计算一阶导数：dy/dx = (dy/dt) / (dx/dt) = (dy/dt) / cos t。二阶导数：d²y/dx² = d/dx (dy/dx) = d/dt (dy/dx) / (dx/dt) = [d/dt ( (dy/dt)/cos t )] / cos t = [ (d²y/dt²) cos t + (dy/dt) sin t ] / cos² t = (d²y/dt²)/cos² t + (dy/dt) sin t / cos³ t。
公式：dy/dx = (dy/dt)/cos t; d²y/dx² = (d²y/dt²)/cos² t + (dy/dt) sin t / cos³ t
提示：注意 cos t > 0 在 t ∈ (-π/2, π/2) 内，所以分母不为零。
步骤 2/2
目标：将导数表达式代入原方程
原方程：(1 - x²) d²y/dx² - x dy/dx + a² y = 0。代入 x = sin t，1 - x² = 1 - sin² t = cos² t。代入 dy/dx 和 d²y/dx²：cos² t * [ (d²y/dt²)/cos² t + (dy/dt) sin t / cos³ t ] - sin t * [ (dy/dt)/cos t ] + a² y = 0。化简：d²y/dt² + (dy/dt) sin t / cos t - (dy/dt) sin t / cos t + a² y = 0，即 d²y/dt² + a² y = 0。
公式：d²y/dt² + a² y = 0
提示：注意中间两项抵消，得到简谐振动方程。
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