kaoyan3basic 高等数学 第34题
📝 题目
### 第34题 34 设 $\displaystyle f(x)=(x-1) x^{\frac{2}{3}}$ ，则 $f(x)$ 的凸区间是 $\_\_\_\_$ ，拐点的横坐标是 $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：凸区间$(-\infty,0)$和$(0,+\infty)$？需具体计算；拐点横坐标$x=0$ **解析**：步骤1：$\displaystyle f(x)=(x-1)x^{\frac{2}{3}}$，定义域$(-\infty,+\infty)$。求导：$\displaystyle f^{\prime}(x)=x^{\frac{2}{3}}+(x-1)\cdot\frac{2}{3}x^{-\frac{1}{3}}=\frac{5x-2}{3}x^{-\frac{1}{3}}$。 步骤2：$\displaystyle f^{\prime\prime}(x)=\frac{5}{3}x^{-\frac{1}{3}}+\frac{5x-2}{3}\cdot\left(-\frac{1}{3}\right)x^{-\frac{4}{3}}=\frac{5}{3}x^{-\frac{1}{3}}-\frac{5x-2}{9}x^{-\frac{4}{3}}=\frac{15x-(5x-2)}{9}x^{-\frac{4}{3}}=\frac{10x+2}{9}x^{-\frac{4}{3}}$。 步骤3：令$f^{\prime\prime}(x)=0$得$\displaystyle x=-\frac{1}{5}$，且$x=0$处二阶导不存在。列表：$\displaystyle x<-\frac{1}{5}$时$f^{\prime\prime}(x)<0$，凹；$\displaystyle -\frac{1}{5}