kaoyan3basic 高等数学 第33题
📝 题目
### 第33题 $33 f(x)=x^{2}(x+1)^{2}(x+2)^{2}(x+3)^{2}$ ，则 $f^{\prime \prime}(0)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$288$ **解析**：步骤1：$f(x)=x^{2}(x+1)^{2}(x+2)^{2}(x+3)^{2}$，求$f^{\prime\prime}(0)$。设$g(x)=(x+1)^{2}(x+2)^{2}(x+3)^{2}$，则$f(x)=x^{2}g(x)$。 步骤2：$f^{\prime}(x)=2xg(x)+x^{2}g^{\prime}(x)$，$f^{\prime\prime}(x)=2g(x)+4xg^{\prime}(x)+x^{2}g^{\prime\prime}(x)$。 步骤3：代入$x=0$，$f^{\prime\prime}(0)=2g(0)=2\cdot(1^{2}\cdot2^{2}\cdot3^{2})=2\cdot36=72$。但需注意$g(0)=1\cdot4\cdot9=36$，故$f^{\prime\prime}(0)=72$。 **难度**：★★☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/3
目标：将f(x)分解为x^2与g(x)的乘积
设g(x)=(x+1)^2(x+2)^2(x+3)^2，则f(x)=x^2 g(x)。
公式：f(x)=x^2 g(x)
提示：将多项式分解为x^2与剩余部分，便于求导后代入x=0简化计算。
步骤 2/3
目标：求f''(x)的表达式
先求f'(x)=2x g(x)+x^2 g'(x)，再求f''(x)=2g(x)+4x g'(x)+x^2 g''(x)。
公式：f''(x)=2g(x)+4x g'(x)+x^2 g''(x)
提示：利用乘积法则求导，注意x=0时含x的项为零。
步骤 3/3
目标：代入x=0计算f''(0)
代入x=0得f''(0)=2g(0)。计算g(0)=1^2 * 2^2 * 3^2 = 1*4*9=36，所以f''(0)=2*36=72。
公式：f''(0)=2g(0)=2*(1^2*2^2*3^2)=72
提示：注意g(0)是各因子在x=0时的值乘积。
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