kaoyan3basic 高等数学 第32题
📝 题目
### 第32题 32 设 $f(x)=x^{\sin x}(x>0)$ ，则 $f^{\prime}(x)=$ $\_\_\_\_$ ．
💡 答案解析
**答案**：$\displaystyle x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)$ **解析**：步骤1：$f(x)=x^{\sin x}=\mathrm{e}^{\sin x\ln x}$，则$\displaystyle f^{\prime}(x)=\mathrm{e}^{\sin x\ln x}\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)=x^{\sin x}\left(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x}\right)$。 **难度**：★☆☆☆☆
📋 详细解题步骤
步骤 1/4
目标：将幂指函数转化为指数形式
对于 $x>0$，$f(x)=x^{\sin x}=e^{\sin x \ln x}$。
公式：$a^b = e^{b \ln a}$
提示：幂指函数求导通常先取对数或化为指数形式。
步骤 2/4
目标：对指数形式求导
令 $g(x)=\sin x \ln x$，则 $f(x)=e^{g(x)}$，$f'(x)=e^{g(x)} g'(x)$。
公式：$(e^{u})' = e^{u} u'$
提示：复合函数求导，外层为指数函数。
步骤 3/4
目标：计算 $g'(x)$
$g'(x) = (\sin x)' \ln x + \sin x \cdot (\ln x)' = \cos x \ln x + \sin x \cdot \frac{1}{x}$。
公式：$(uv)' = u'v + uv'$，$(\sin x)' = \cos x$，$(\ln x)' = \frac{1}{x}$
提示：注意乘法法则的应用。
步骤 4/4
目标：代入得到最终结果
$f'(x) = e^{\sin x \ln x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right) = x^{\sin x} \left( \cos x \ln x + \frac{\sin x}{x} \right)$。
公式：$e^{\sin x \ln x} = x^{\sin x}$
提示：最后将指数形式还原为幂指形式。
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